குறுங்கோண, விரிகோண முக்கோணங்கள்

மூன்று கோணங்களையும் குறுங்கோணங்களாகக் கொண்ட (<90°)முக்கோணம் குறுங்கோண முக்கோணம் (acute triangle) ஆகும். இதேபோல ஒரு விரிகோணமும்(>90°), இரண்டு குறுங்கோணங்களையும் (<90°) கொண்ட முக்கோணம் விரிகோண முக்கோணம் (obtuse triangle) ஆகும். ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணவளவுகளின் கூடுதல் 180° என்பதால் எந்தவொரு முக்கோணமும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட விரிகோணத்தை கொண்டிருக்க முடியாது.

குறுங்கோண முக்கோணங்களும் விரிகோண முக்கோணங்களும் சாய்வு முக்கோண (oblique triangles) வகையைச் சேர்ந்தவை.

செங்கோண முக்கோணம்	விரிகோண முக்கோணம்	குறுங்கோண முக்கோணம்
	$\underset{}{\underbrace{}}$
	சாய்வு முக்கோணங்கள்

பண்புகள்

• அனைத்து முக்கோணங்களுக்கும் அவற்றின் நடுக்கோட்டுச்சந்திகளும் உள்வட்ட மையங்களும், அந்தந்த முக்கோணங்களின் உட்புறத்திலமைகின்றன.

• செங்கோட்டுச்சந்திகளும் சுற்றுவட்ட மையங்களும் விரிகோண முக்கோணங்களுக்கு வெளிப்புறமும், குறுங்கோண முக்கோணங்களுக்கு உட்புறமும் அமைகின்றன.

முக்கோணத்தின் குத்துக்கோடு என்பது முக்கோணத்தின் ஒரு உச்சியிலிருந்து எதிர்ப்பக்கத்திற்கு செங்குத்தாக வரையப்படும் கோட்டுத்துண்டாகும்.

செங்கோட்டுச்சந்தி குறுங்கோண முக்கோணத்தில் உட்புறத்தில் உள்ளது

செங்கோட்டுச்சந்தி (H) விரிகோண முக்கோணத்தில் வெளிப்புறத்தில் உள்ளது

ஒரு குறுங்கோண முக்கோணத்தின் மூன்று குத்துக்கோடுகளும் அம்முக்கோணத்தின் உட்புறத்திலமைகின்றன. ஆனால் விரிகோண முக்கோணத்தில் இரு குறுங்கோண உச்சிகளிலிருந்து வரையப்படும் குத்துக்கோடுகள் இரண்டும் முக்கோணத்தின் வெளிப்புறத்தில்தான் எதிர்ப்பக்கங்களின் நீட்சிகளைச் சந்திக்கின்றன.

எனவே குத்துக்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியான செங்கோட்டுச்சந்தி, குறுங்கோண முக்கோணத்திற்கு அதன் உட்புறமும், விரிகோண முக்கோணத்திற்கு அதன் வெளிப்புறமும் அமையும் (செங்கோண முக்கோணத்தில் சுற்றுவட்ட மையமும் செங்கோட்டுச்சந்தியும் முக்கோணத்தின் மேலமைகின்றன).

• முக்கோணம் ABC இல் A , B கோணங்களின் எதிர்ப்பக்கங்கள் முறையே a , b எனில்{{rp|p. 264}:}

$A>B\text{if and only if}a>b.$

எனவே விரிகோண முக்கோணத்தில், விரிகோணத்தின் எதிர்ப்பக்கம் மிகஅதிக நீளமான பக்கமாக இருக்கும்.

• ஒரு குறுங்கோண முக்கோணத்துக்குள் மூன்று சதுரங்கள் வரையலாம். இவ்வாறு வரையப்படும் ஒரு சதுரத்தின் பக்கமொன்று, முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் பகுதியாகவும், சதுரத்தின் மற்ற இரு உச்சிகள் முக்கோணத்தின் மீதமுள்ள இரு பக்கங்களின் மீதும் அமைந்திருக்கும்.

ஒரு விரிகோண முக்கோணத்துக்குள் ஒரு சதுரம் மட்டுமே வரையமுடியும். இச்சதுரத்தின் ஒரு பக்கம் முக்கோணத்தின் மிகநீளமான பக்கத்தின் (விரிகோணத்தின் எதிர்ப்பக்கம்) ஒரு பகுதியாகவும், சதுரத்தின் மற்ற இரு உச்சிகள் முக்கோணத்தின் மீதமுள்ள இரு பக்கங்களின் மீதும் அமைந்திருக்கும்.வார்ப்புரு:Rp

செங்கோண முக்கோணத்துக்குள் வரையக்கூடிய மூன்று சதுரங்களில் இரண்டு ஒன்றுபடும் என்பதால் இரு சதுரங்கள் மட்டுமே வரையலாம்.

சமனிலிகள்

பக்கங்கள்

முக்கோணம் ABC இல் கோணம் C விரிகோணம்; பக்கநீளங்கள் a, b, c எனில்வார்ப்புரு:Rp:

$\frac{c^2}{2}<a^2+b^2<c^2,$

குறுங்கோண முக்கோணம் எனில்:

$a^2+b^2>c^2,b^2+c^2>a^2,c^2+a^2>b^2.$

செங்குத்துயரம்

முக்கோணத்தின் மிகப்பெரிய கோணம் C; C உச்சியிலிருந்து வரையப்படும் செங்குத்துயரம் h_c.

கோணம் C குறுங்கோணம் எனில்:வார்ப்புரு:Rp

$\frac{1}{h_c^2}<\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2},$

கோணம் C விரிகோணம் எனில்:

$\frac{1}{h_c^2}>\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2},$

நடுக்கோடுகள்

முக்கோணத்தின் மிகநீளமான பக்கநீளம் c . மற்ற இரு பக்கங்களின் நடுக்கோடுகளின் நீளங்கள் m_a , m_b எனில்வார்ப்புரு:Rp:

$4c^2+9a^2{b}^2>16m_a^2{m}_b^2$ (குறுங்கோண முக்கோணம்)

$4c^2+9a^2{b}^2<16m_a^2{m}_b^2$ (விரிகோண முக்கோணம்)

முக்கோணத்தின் மிகநீளமான பக்கதிற்கான நடுக்கோட்டின் (m_c) நீளம் ஒரு குறுங்கோண முக்கோணத்தில் சுற்றுவட்ட ஆரத்தைவிட அதிகமானதாகவும், விரிகோண முக்கோணத்தில் குறைவானதாகவும் இருக்கும்{{rp|p.136,#3113}.}

$m_c>R$ (குறுங்கோண முக்கோணம்)

$m_c<R$ (விரிகோண முக்கோணம்)

பரப்பளவு

ஓனோவின் சமனிலியின்படி, முக்கோணத்தின் பரப்பளவு A எனில்:

$27(b^2+c^2-a^2{)}^2(c^2+a^2-b^2{)}^2(a^2+b^2-c^2{)}^2\le (4A{)}^6,$

இச்சமனிலி குறுங்கோண முக்கோணங்களுக்கு மட்டுமே பொருந்தும். விரிகோண முக்கோணங்களுக்குப் பொருந்தாது.

முக்கோணவியல் சார்புகள்

முக்கோணத்தின் கோணங்கள் முறையே A, B, C எனில்வார்ப்புரு:Rp:

${\cos }^{2}A+{\cos }^{2}B+{\cos }^{2}C<1,$ (குறுங்கோண முக்கோணம்)

${\cos }^{2}A+{\cos }^{2}B+{\cos }^{2}C>1,$ (விரிகோண முக்கோணம்)

${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C>2,$ (குறுங்கோண முக்கோணம்)வார்ப்புரு:Rp

${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C<2,$ (விரிகோண முக்கோணம்)

$\sin A\cdot \sin B+\sin B\cdot \sin C+\sin C\cdot \sin A\le (\cos A+\cos B+\cos C{)}^2.$ (குறுங்கோண முக்கோணம்)வார்ப்புரு:Rp

முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்ட ஆரம் R எனில்வார்ப்புரு:Rpவார்ப்புரு:Rp:

$a{\cos }^{3}A+b{\cos }^{3}B+c{\cos }^{3}C\le \frac{abc}{4R^2}$ (குறுங்கோண முக்கோணம்)

${\cos }^{3}A+{\cos }^{3}B+{\cos }^{3}C+\cos A\cos B\cos C\ge \frac{1}{2}.$ (குறுங்கோண முக்கோணம்)

$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\cdot \tan B\cdot \tan C>0$ (குறுங்கோண முக்கோணம்)

$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\cdot \tan B\cdot \tan C<0$ (விரிகோண முக்கோணம்)

$\tan A+\tan B+\tan C\ge 2(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)$(குறுங்கோண முக்கோணம்)வார்ப்புரு:Rp

$\tan A+\tan B+\tan C\le 2(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)$(விரிகோண முக்கோணம்)

$(\tan A+\tan B+\tan C{)}^2\ge (\sec A+1{)}^2+(\sec B+1{)}^2+(\sec C+1{)}^2.$ (குறுங்கோண முக்கோணம்)வார்ப்புரு:Rp

முக்கோணத்தின் உள்வட்ட ஆரம், சுற்றுவட்ட ஆரம் r , R எனில்வார்ப்புரு:Rp:

$a\tan A+b\tan B+c\tan C\ge 10R-2r.$ (குறுங்கோண முக்கோணம்)

ஒரு குறுங்கோண முக்கோணத்தின் பரப்பளவு K வார்ப்புரு:Rp எனில்:

$(\sqrt{\cot A}+\sqrt{\cot B}+\sqrt{\cot C}{)}^2\le \frac{K}{r^2}.$

சுற்றுவட்ட ஆரம், உள்வட்ட ஆரம், வெளிவட்ட ஆரம்

முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்ட ஆரம் R ; உள்வட்ட ஆரம் r எனில்:

$R+r<\frac{a+b}{2}$ (குறுங்கோண முக்கோணம்)வார்ப்புரு:Rp

$R+r>\frac{a+b}{2}$ (விரிகோண முக்கோணம்)

m_a , m_b , m_c முக்கோணத்தின் நடுக்கோடுகளின் நீளங்கள்; R சுற்றுவட்ட ஆரம் எனில்:

$m_a^2+m_b^2+m_c^2>6R^2$ (குறுங்கோண முக்கோணம்)வார்ப்புரு:Rp

$m_a^2+m_b^2+m_c^2<6R^2$ (குறுங்கோண முக்கோணம்)

r_a , r_b , r_c முக்கோணத்தின் வெளிவட்ட ஆரங்கள்; R சுற்றுவட்ட ஆரம் எனில்:

$r^2+r_a^2+r_b^2+r_c^2<8R^2,$ (குறுங்கோண முக்கோணம்) வார்ப்புரு:Rp

$r^2+r_a^2+r_b^2+r_c^2<8R^2,$ (விரிகோண முக்கோணம்)

முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவு s எனில்:

$s-r>2R,$ (குறுங்கோண முக்கோணம்)வார்ப்புரு:Rp

$s-r<2R,$ (விரிகோண முக்கோணம்)

முக்கோணத்தின் பரப்பளவு K எனில்:

$ab+bc+ca\ge 2R(R+r)+\frac{8K}{\sqrt{3}}.$ (குறுங்கோண முக்கோணம்)வார்ப்புரு:Rp

முக்கோண மையங்களைக் கொண்ட தூரங்கள்

சுற்றுவட்ட மையம் O ; செங்கோட்டுச்சந்தி H எனில்:

$OH<R,$வார்ப்புரு:Rp (குறுங்கோண முக்கோணம்)

$OH>R,$ (விரிகோண முக்கோணம்)

உள்வட்ட மையம் I ; செங்கோட்டுச்சந்தி H ; உள்வட்ட ஆரம் r எனில்:

$IH<r\sqrt{2},$ (குறுங்கோண முக்கோணம்)வார்ப்புரு:Rp

$IH>r\sqrt{2},$ (விரிகோண முக்கோணம்)

உட்சதுரம்

ஒரு குறுங்கோண முக்கோணத்தினுள் வரையப்பட்ட இரு சதுரங்களின் பக்கங்கள் x_a , x_b; மேலும் x_a < x_b, எனில்வார்ப்புரு:Rp:

$1\ge \frac{x_a}{x_b}\ge \frac{2\sqrt{2}}{3}\approx 0.94.$

இரு விரிகோண முக்கோணங்கள்

இரண்டு விரிகோண முக்கோணங்களின் பக்கங்கள் (a, b, c), (p, q, r); இரு முக்கோணங்களின் மிகநீளமான பக்கங்கள் c , r எனில்:வார்ப்புரு:Rp

$ap+bq<cr.$

மேற்கோள்கள்

• வார்ப்புரு:Mathworld
• வார்ப்புரு:Mathworld