அடுக்குக்குறிச் சார்புகளின் தொகையீடுகளின் பட்டியல்

அடுக்குக்குறிச் சார்புகளின் தொகையீடுகளின் பட்டியல் (List of integrals of exponential functions) கீழே தரப்பட்டுள்ளது.

வரையறா தொகையீடுகள்

$\int e^x\mathrm{d}x=e^x+C$

$\int e^{cx}\mathrm{d}x=\frac{1}{c}{e}^{cx}+C$

$\int a^{cx}\mathrm{d}x=\frac{1}{c\cdot \ln a}{a}^{cx}+C$ இங்கு $a>0,a\ne 1$

$\int x{e}^{cx}\mathrm{d}x=\frac{e^{cx}}{c^2}(cx-1)+C$

$\int x^2{e}^{cx}\mathrm{d}x=e^{cx}(\frac{x^2}{c}-\frac{2x}{c^2}+\frac{2}{c^3})+C$

$\int x^n{e}^{cx}\mathrm{d}x=\frac{1}{c}{x}^n{e}^{cx}-\frac{n}{c}\int x^{n-1}{e}^{cx}\mathrm{d}x={\left(\frac{\partial }{\partial c}\right)}^n\frac{e^{cx}}{c}+C$

$\int \frac{e^{cx}}{x}\mathrm{d}x=\ln |x|+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(cx{)}^n}{n\cdot n!}+C$

$\int \frac{e^{cx}}{x^n}\mathrm{d}x=\frac{1}{n-1}(-\frac{e^{cx}}{x^{n-1}}+c\int \frac{e^{cx}}{x^{n-1}}\mathrm{d}x)+C\text{(for }n\ne 1\text{)}$

$\int e^{cx}\ln x\mathrm{d}x=\frac{1}{c}(e^{cx}\ln |x|-\mathrm{Ei}(cx))+C$

$\int e^{cx}\sin bx\mathrm{d}x=\frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\sin bx-b\cos bx)+C$

$\int e^{cx}\cos bx\mathrm{d}x=\frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\cos bx+b\sin bx)+C$

$\int e^{cx}{\sin }^{n}x\mathrm{d}x=\frac{e^{cx}{\sin }^{n-1}x}{c^2+n^2}(c\sin x-n\cos x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}{\sin }^{n-2}x\mathrm{d}x+C$

$\int e^{cx}{\cos }^{n}x\mathrm{d}x=\frac{e^{cx}{\cos }^{n-1}x}{c^2+n^2}(c\cos x+n\sin x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}{\cos }^{n-2}x\mathrm{d}x+C$

$\int x{e}^{c{x}^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2c}{e}^{c{x}^2}+C$

$\int e^{-c{x}^2}\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi }{4c}}\mathrm{erf}(\sqrt{c}x)+C$ ($\mathrm{erf}$ -பிழைச் சார்பு)

$\int x{e}^{-c{x}^2}\mathrm{d}x=-\frac{1}{2c}{e}^{-c{x}^2}+C$

$\int \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}(\mathrm{erf}\frac{x-\mu }{\sigma \sqrt{2}})+C$

$\int e^{x^2}\mathrm{d}x=e^{x^2}\left(\sum _{j=0}^{n-1}{c}_{2j}\frac{1}{x^{2j+1}}\right)+(2n-1)c_{2n-2}\int \frac{e^{x^2}}{x^{2n}}\mathrm{d}x+C\text{valid for }n>0,$

இங்கு $c_{2j}=\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2j-1)}{2^{j+1}}=\frac{(2j)!}{j!2^{2j+1}}.$

$\int \underset{m}{\underbrace{x^{x^{{\cdot }^{{\cdot }^x}}}}}dx=\sum _{n=0}^m\frac{(-1{)}^n(n+1{)}^{n-1}}{n!}\mathrm{\Gamma }(n+1,-\ln x)+\sum _{n=m+1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_{mn}\mathrm{\Gamma }(n+1,-\ln x)+C\text{(for }x>0\text{)}$

இங்கு $a_{mn}=\{\begin{array}{cc}1& \text{if }n=0,\\ \frac{1}{n!}& \text{if }m=1,\\ \frac{1}{n}\sum _{j=1}^{n}j{a}_{m,n-j}{a}_{m-1,j-1}& \text{otherwise}\end{array}$

மேலும் $\mathrm{\Gamma }(x,y)$ -காமா சார்பு (gamma function)

$\int \frac{1}{a{e}^{\lambda x}+b}\mathrm{d}x=\frac{x}{b}-\frac{1}{b\lambda }\ln (a{e}^{\lambda x}+b)+C,$ $b\ne 0$, $\lambda \ne 0$, $a{e}^{\lambda x}+b>0.$

$\int \frac{e^{2\lambda x}}{a{e}^{\lambda x}+b}\mathrm{d}x=\frac{1}{a^2\lambda }[a{e}^{\lambda x}+b-b\ln (a{e}^{\lambda x}+b)]+C,$ $a\ne 0$, $\lambda \ne 0$, $a{e}^{\lambda x}+b>0.$

வரையறுத்த தொகையீடு

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{x\cdot \ln a+(1-x)\cdot \ln b}\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{a}{b}\right)}^x\cdot b\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{a}^x\cdot b^{1-x}\mathrm{d}x=\frac{a-b}{\ln a-\ln b},$ $a>0,b>0,a\ne b$, இது மடக்கைச் சராசரியாகும் (logarithmic mean)

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{ax}\mathrm{d}x=\frac{1}{-a}(\mathrm{Re}(a)<0)$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-a{x}^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{a}}(a>0)$ (காசியன் தொகையீடு)

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-a{x}^2}\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi }{a}}(a>0)$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-a{x}^2}{e}^{-2bx}\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi }{a}}{e}^{\frac{b^2}{a}}(a>0)$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{e}^{-a(x-b{)}^2}\mathrm{d}x=b\sqrt{\frac{\pi }{a}}$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2{e}^{-a{x}^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{a^3}}(a>0)$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^n{e}^{-a{x}^2}\mathrm{d}x=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1}{2}\right)/a^{\frac{n+1}{2}}& (n>-1,a>0)\\ \frac{(2k-1)!!}{2^{k+1}{a}^k}\sqrt{\frac{\pi }{a}}& (n=2k,k\text{integer},a>0)\\ \frac{k!}{2a^{k+1}}& (n=2k+1,k\text{integer},a>0)\end{array}$ (!! இரட்டைத் தொடர் பெருக்கம்)

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^n{e}^{-ax}\mathrm{d}x=\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{\Gamma }(n+1)}{a^{n+1}}& (n>-1,a>0)\\ \frac{n!}{a^{n+1}}& (n=0,1,2,\dots ,a>0)\end{array}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-ax}\sin bx\mathrm{d}x=\frac{b}{a^2+b^2}(a>0)$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-ax}\cos bx\mathrm{d}x=\frac{a}{a^2+b^2}(a>0)$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{e}^{-ax}\sin bx\mathrm{d}x=\frac{2ab}{(a^2+b^2{)}^2}(a>0)$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{e}^{-ax}\cos bx\mathrm{d}x=\frac{a^2-b^2}{(a^2+b^2{)}^2}(a>0)$

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_0(x)$ ($I_0$ -முதல்வகையைச் சேர்ந்த மாற்றியமைக்கப்பட்ட பெசல் சார்பின் (Bessel function) )

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_0\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$

மேற்கோள்கள்

• Wolfram Mathematica Online Integrator வார்ப்புரு:Webarchive
• V. H. Moll, The Integrals in Gradshteyn and Ryzhik