அடுக்குச் சார்பு

கணிதத்தில் அடுக்குச் சார்பு (power function) என்பது $f(x)=x^p$ வடிவிலமைந்த ஒரு சார்பு. இதிலுள்ள $p$ ஒரு மாறிலி; $x$ ஒரு மாறி. பொதுவாக, $p$ இன் மதிப்புகள் நேர் மற்றும் எதிர் முழு எண்களாகவோ அல்லது முழுஎண்கள் போன்ற பிறவகையான எண்களாகவோ இருக்கலாம். இயற்கணிதம், முன்-நுண்கணிதம் ஆகியவற்றில் பயன்படும் அடிப்படைக் கருத்துருவாக அமையும் அடுக்குச் சார்புகள், பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் அமைப்புக்கு உதவுகின்றன.

அடுக்குச் சார்பின் பொதுவடிவம்:

$f(x)=c{x}^p$, $p,c$ இரண்டும் மாறிலிகள்.

அற்ப வகைகள்

படம் 1: $p=1,3,5$ மதிப்புகளுக்கு அடுக்குச் சார்புகள்

$c=0$ எனில்:

$f(x)=c{x}^p$ சார்பானது $x$ இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் $f(x)=0$ என்ற மாறிலிச் சார்பாகும். இச்சார்பின் வரைபடம் $y=0$ இல் அமையும் கிடைக்கோடாக இருக்கும். அனைத்து உள்ளீடுகளையும் 0 உடன் இணைக்கும் சார்பாக இதனைக் கொள்ளலாம்.

$c=1,p=0$ எனில்:

$f(x)=c{x}^p$ சார்பானது $x$ இன் அனைத்து மெய்மதிப்புகளுக்கும் $f(x)=1$ என்ற மாறிலிச் சார்பாகும். இச்சார்பின் வரைபடம் $y=1$ இல் அமையும் கிடைக்கோடாக இருக்கும். அனைத்து உள்ளீடுகளையும் எண் 1 உடன் இணைக்கும் சார்பாக இதனைக் கொள்ளலாம்.

$c=1,p=1$ எனில்:

$f(x)=c{x}^p$ ஆனது $f(x)=x$ என்ற முற்றொருமைச் சார்பாகும். இச்சார்பின் வரைபடம் ஆதிப்புள்ளி வழியாகச் செல்லும் சாய்வு 1 கொண்ட நேர்கோடாக இருக்கும். அனைத்து உள்ளீடுகளையும் தனக்குத்தானே இணைக்கும் சார்பாக இதனைக் கொள்ளலாம்.

$p\ge 2$ ஆகவுள்ள முழுஎண் மதிப்புகளுக்கு

படம் 2:$p=2,4,6$ மதிப்புகளுக்கான அடுக்குச் சார்புகள்

$p\in \mathbb{Z},p\ge 2$ எனில் $p$ இன் மதிப்பு ஒற்றையெண் அல்லது இரட்டையெண் என்பதைப் பொறுத்து இருவகையான சார்புக் குடும்பங்கள் கிடைக்கின்றன.

• $p$ இரட்டையெண் மற்றும் $x$ இன் மதிப்பு மிகப்பெரியது எனில்:
  • $c\ge 0,,$ $f(x)$ இன் மதிப்பு நேர் முடிவிலியை நோக்கிச் செல்லும்.
  • $c\le 0$ $f(x)$ இன் மதிப்பு எதிர் முடிவிலியை நோக்கிச் செல்லும்.

அனைத்து இரட்டை அடுக்குச் சார்புகளின் வரைபடங்களின் வடிவங்களும் பொதுவாக $y=x^2$ இன் வளைவரையின் வடிவைக் கொண்டிருக்கும் (படம் 2). மேலும் $p$ இன் மதிப்புக் அதிகரிக்க, அதிகரிக்க வரைவளையின் நடுப்பகுதி தட்டையாகும். இத்தகைய சமச்சீர் கொண்ட சார்புகள் இரட்டைச் சார்புகளெனப்படும்.

$p$ ஒற்றையெண்ணாக இருக்கும்போது $x$ இன் நேர்மதிப்புகளிலிருந்து $x$ இன் எதிர்மதிப்புகளுக்கு $f(x)$ இன் அணுகுதன்மை எதிர்மறையாகிறது.

• $p$ ஒற்றையெண் மற்றும் $c\ge 0,,$ எனில்:
  • $x$ மிகப்பெரிய நேர்மதிப்புகளுக்கு $f(x)$ இன் மதிப்பு நேர் முடிவிலியை நோக்கிச் செல்லும்.
  • $x$ மிகப்பெரிய எதிர்மதிப்புகளுக்கு $f(x)$ இன் மதிப்பு எதிர் முடிவிலியை நோக்கிச் செல்லும்.

• $p$ ஒற்றையெண் மற்றும் $c\le 0,,$ எனில்:
  • $x$ மிகப்பெரிய நேர்மதிப்புகளுக்கு $f(x)$ இன் மதிப்பு எதிர் முடிவிலியை நோக்கிச் செல்லும்.
  • $x$ மிகப்பெரிய எதிர்மதிப்புகளுக்கு $f(x)$ இன் மதிப்பு நேர் முடிவிலியை நோக்கிச் செல்லும்.

அனைத்து ஒற்றை அடுக்குச் சார்புகளின் வரைபடங்களின் வடிவங்களும் பொதுவாக $y=x^3$ இன் வளைவரையின் வடிவைக் கொண்டிருக்கும் (படம் 1). மேலும் $p$ இன் மதிப்புக் அதிகரிக்க, அதிகரிக்க வரைவளையின் நடுப்பகுதி தட்டையாகும். இத்தகைய சமச்சீர் கொண்ட சார்புகள் ஒற்றைச் சார்புகளெனப்படும்.

$p<0$ ஆகவுள்ள முழுஎண் மதிப்புகளுக்கு

$p\in \mathbb{Z},p<0$ எனில், $f(x)$ இன் வளைவரை [அதிபரவளைவு]] வடிவிலமையும். நேர் முழுஎண்களுக்கு போலவே இவ்வகையிலும் $p$ இன் மதிப்புகள் ஒற்றை அல்லது இரட்டையெண்ணாக இருப்பதைப் பொறுத்து $f(x)$ இன் வரைபடம் இருவிதமான குடும்பமாக இருக்கும். எனினும் $p$ இன் மதிப்புகள் ஒற்றை அல்லது இரட்டையெண்ணாக இருப்பதைக் கணக்கில் கொள்ளாமலும், $x$ இன் மதிப்புகள் நேர் அல்லது எதிரெண் என எதுவாக இருந்தாலும், $x$ இன் மதிப்புகள் பெரிதாகப் பெரிதாக இச்சார்பின் வளைவரைக் குடும்பங்கள் 0 ஐ அணுகும். $x=0$ ஐ வளைவரைகள் வலமிருந்து அல்லது இடமிருந்து அணுகும் திசைப்போக்கு வேறுபடும்.

• $p$ இரட்டை எண் எனில் $f(x)$ இரட்டைச் சார்பாக இருக்கும். அதனால் $y$-அச்சுக்குச் சமச்சீராக அமையும். $x=0$ ஐ இடமிருந்தோ அல்லது வலமிருந்தோ அணுகும்போது $f(x)$ ஆனது
  • $c$ நேரெண்ணாக இருக்கும்போது $f(x)$ நேர் முடிவிலியை நோக்கியும்
  • $c$ எதிரெண்ணாக இருக்கும்போது $f(x)$ எதிர் முடிவிலியை நோக்கியும் அணுகுகிறது.

• $p$ ஒற்றையெண் எனில் $f(x)$ ஒற்றைச் சார்பாக இருக்கும். மேலும் $f(x)$ ஆதிப்புள்ளியைப் பொறுத்து சமச்சீராகவும் இருக்கும்.