அடுக்கேற்றம்

அடி b இன் வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கு வார்ப்புரு:Math சார்பின் வரைபடம்: வார்ப்புரு:Nobr வார்ப்புரு:Nobr வார்ப்புரு:Nobr வார்ப்புரு:Nobr எந்தவொரு எண்ணையும் 0 அடுக்குக்கு உயர்த்தும்போது அதன் மதிப்பு 1 என்பதால் படத்திலுள்ள ஒவ்வொரு கோட்டுருவும் வார்ப்புரு:Math என்ற புள்ளி வழியேச் செல்கிறது. எந்தவொரு எண்ணின் அடுக்கும் 1 ஆக இருந்தால் அதன் மதிப்பு அதே எண்ணாக இருக்கும் என்பதால் வார்ப்புரு:Math எனும்போது y இன் மதிப்பு அந்தந்த அடிமான எண்களுக்குச் சமமாக இருக்கிறது.

அடுக்கேற்றம் (Exponentiation) என்பது ஒரு கணிதச் செயல். இதை bⁿ என்று குறிப்பது வழக்கம். இதில், வார்ப்புரு:Mvar என்பதை அடிமானம் அல்லது அடி எனவும், வார்ப்புரு:Mvar ஐ அடுக்கு அல்லது படி எனவும் அழைப்பர். வார்ப்புரு:Mvar நேர் முழு எண்ணாக இருக்கும்போது, அடுக்கேற்றம், வார்ப்புரு:Mvar ஐ வார்ப்புரு:Mvar தடவைகள் தொடர்ச்சியாகப் பெருக்குவதாக இருக்கும்.

$b^n=\underset{n}{\underbrace{b\times \cdots \times b}},$

பொதுவாக அடுக்கானது, அடிமான எண்ணின் வலப்பக்கத்தில் மேலெழுத்தாகக் குறிக்கப்படும். bⁿ என்னும் அடுக்கேற்றத்தை வார்ப்புரு:Mvar இன் வார்ப்புரு:Mvar ஆவது அடுக்கு என்றோ, வார்ப்புரு:Mvar இன் வார்ப்புரு:Mvar ஆம் படி என்றோ வாசிப்பது வழக்கம். சில இடங்களில் சில அடுக்கேற்றங்கள் அவற்றுக்கே உரிய தனியான சொற்களால் குறிப்பிடப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக b இன் அடுக்கு இரண்டு (b²) என்பது வார்ப்புரு:Mvar இன் வர்க்கம் எனவும், b இன் அடுக்கு 3 (b³) என்பது வார்ப்புரு:Mvar இன் கனம் எனவும் குறிக்கப்படுகிறது.

• வார்ப்புரு:Math
• வார்ப்புரு:Mvar, வார்ப்புரு:Mvar இரு நேர்ம எண்களெனில்,

வார்ப்புரு:Math.

இப்பண்பினை நேர்மமில்லா முழு எண்களுக்கும் நீட்டிக்கக் கீழுள்ள முடிவுகள் வரையறுக்கப்படுகின்றன:

b⁰ = 1

வார்ப்புரு:Math = வார்ப்புரு:Math (வார்ப்புரு:Mvar நேர்ம எண்; வார்ப்புரு:Mvar பூச்சியமற்ற எண்) குறிப்பாக,

வார்ப்புரு:Math = வார்ப்புரு:Math (வார்ப்புரு:Mvar இன் பெருக்கல் நேர்மாறு).

மெய்யெண் மற்றும் சிக்கலெண் அடுக்குகளுக்கும் அடுக்கேற்றத்தை நீட்டிக்கலாம். முழு எண் அடுக்கேற்றமானது அணிகள் உட்பட பல இயற்கணித அமைப்புகளுக்கு வரையறுக்கப்படுகிறது. பொருளியல், உயிரியல், வேதியியல், இயற்பியல், கணினியியல் போன்ற பலதுறைகளில் அடுக்கேற்றம் பயன்படுகிறது.

சொல்லியல்

வார்ப்புரு:Math அலகு பக்க நீளங்கொண்ட சதுரத்தின் பரப்பளவு வார்ப்புரு:Math ஆகும். எனவே வார்ப்புரு:Math என்பது " b இன் வர்க்கம் என அழைக்கப்படுகிறது. இதேபோல வார்ப்புரு:Math பக்க நீளங்கொண்ட கனசதுரத்தின் கனவளவு வார்ப்புரு:Math என்பதால் வார்ப்புரு:Math ஆனது " b இன் கனம்" என அழைக்கப்படுகிறது.

அடுக்கு ஒரு இயல் எண்ணாக இருக்கும்போது அது, அடி எண்ணை மீண்டும் மீண்டும் எத்தனை முறை பெருக்கவேண்டும் என்பதைக் குறிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக,

வார்ப்புரு:Math.

வார்ப்புரு:Math என்பது "3 இன் அடுக்கு 5" அல்லது 3 இன் 5 ஆம் அடுக்கு என வாசிக்கப்படுகிறது. பொதுவாக வார்ப்புரு:Math என்பதுதை "b இன் n ஆம் அடுக்கு" என வாசிக்க வேண்டும்.

முழு எண் அடுக்குகள்

முழு எண் அடுக்குகளுடைய அடுக்கேற்றச் செயல் எண்கணிதச் செயல்களைக் கொண்டு வரையறுக்கப்படுகிறது.

நேர்ம அடுக்குகள்

$b^1=b$ மற்றும் $b^{n+1}=b^n\cdot b.$ ஆகிய இரு அடிப்படை முடிவுகளைக்கொண்டு நேர்ம முழுவெண் அடுக்கேற்றம் வரையறுக்கப்படுகிறது. மேலும் பெருக்கலின் சேர்ப்புப் பண்பின்படி கீழ்வரும் முடிவு பெறப்படுகிறது:

வார்ப்புரு:Mvar, வார்ப்புரு:Mvar இரு நேர்ம முழுவெண்களெனில்,

$b^{m+n}=b^m\cdot b^n.$

பூச்சிய அடுக்கு

பூச்சியமற்ற எந்தவொரு முழுஎண்ணையும் அடுக்கு வார்ப்புரு:Math க்கு உயர்த்தும்போது அதன் மதிப்பு வார்ப்புரு:Math ஆகிறது:

$b^0=1.$

எதிர்ம அடுக்குகள்

வார்ப்புரு:Mvar பூச்சியமற்றது எனில் கீழ்வரும் முற்றொருமை உண்மையாகும்:

$b^{-n}=\frac{1}{b^n}$ (வார்ப்புரு:Mvar ஒரு முழுவெண்).

பூச்சியத்தை எதிர்ம அடுக்குக்கு உயர்த்துவது வரையறுக்கப்படவில்லை, சில சூழல்களில் அதன் மதிப்பு முடிவிலியாகக் (வார்ப்புரு:Math) கருதப்படுகிறது. இந்த முற்றொருமையைப் பின்னுள்ளவாறு வருவிக்கலாம்.

வார்ப்புரு:Mvar பூச்சிய மதிப்பற்றது; வார்ப்புரு:Mvar ஒரு நேர்ம முழு எண் எனில் கிடைக்கும் மீள்வரு தொடர்பு:

$b^{n+1}=b^n\cdot b.$

இதனை மாற்றியெழுத:

$b^n=\frac{b^{n+1}}{b},n\ge 1.$

எந்தவொரு பூச்சியமற்ற வார்ப்புரு:Mvar மற்றும் முழுவெண் வார்ப்புரு:Mvar இரண்டுக்கும் இம்மீள்வரும் தொடர்பை உண்மையானதாக வரையறுக்க:

$\begin{array}{cc}{b}^0& =\frac{b^1}{b}=1,\\ b^{-1}& =\frac{b^0}{b}=\frac{1}{b},\end{array}$

$b^{-n}=\frac{1}{b^n}.$

முற்றொருமைகளும் பண்புகளும்

அடி எண் பூச்சியமற்றதாக இருக்கும்பொழுது எந்தவொரு முழுவெண் அடுக்கிற்கும் கீழுள்ள முற்றொருமைகள் பொருந்தும்:

$\begin{array}{cc}{b}^{m+n}& =b^m\cdot b^n\\ {\left(b^m\right)}^n& =b^{m\cdot n}\\ (b\cdot c{)}^n& =b^n\cdot c^n\end{array}$

• அடுக்கேற்றச் செயல் பரிமாற்றுத்தன்மை கொண்டதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, :வார்ப்புரு:Math.
• சேர்ப்புப் பண்பு கிடையாது. எடுத்துக்காட்டு:

வார்ப்புரு:Math

வார்ப்புரு:Math.

• அடுக்கேற்றத்தில் அடைப்புக்குறிகள் தரப்படாமல் இருந்தால், மேலொட்டுக்களில் செயலியை அமல்படுத்தும் வரிசை முறை கீழிலிருந்து மேலாக (இடது சேர்ப்பு) இல்லாமல் மேலிருந்து கீழாக ( வலது- சேர்ப்பு) அமையும்.

அதாவது:

$b^{p^q}=b^{\left(p^q\right)},$

இது ${\left(b^p\right)}^q=b^{pq}.$ இலிருந்து வேறுபட்ட ஒன்றாகும்.