அணியின் வர்க்கமூலம்

கணிதத்தில் அணியின் வர்க்கமூலம் (square root of a matrix) என்பது எண்களின் வர்க்கமூலம் என்ற கருத்துருவின் அணிகளுக்கான நீட்சியாகும்.

பண்புகள்

எடுத்துக்காட்டுகள்:

(\begin{matrix} 33 & 24 \\ 48 & 57 \end{matrix})

அணியின் வர்க்கமூல அணிகள்:

(\begin{matrix} 1 & 4 \\ 8 & 5 \end{matrix})

,

(\begin{matrix} 5 & 2 \\ 4 & 7 \end{matrix})

, இவ்விரு அணிகளின் கூட்டல் நேர்மாறு அணிகள்.

2×2 முற்றொருமை அணி $(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}),$ முடிவிலா பல சமச்சீர் விகிதமுறு வர்க்கமூலங்களைக் கொண்டதாகும்:

வர்க்கமூலங்கள்:

\frac{1}{t} (\begin{matrix} s & r \\ r & - s \end{matrix}), \frac{1}{t} (\begin{matrix} s & - r \\ - r & - s \end{matrix}), \frac{1}{t} (\begin{matrix} - s & r \\ r & s \end{matrix}), \frac{1}{t} (\begin{matrix} - s & - r \\ - r & s \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & \pm 1 \end{matrix}), and (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & \pm 1 \end{matrix}),

(r, s, t)

r^{2} + s^{2} = t^{2}

என்ற முடிவை நிறைவு செய்யும் ஏதேனும் மூன்று நேர்ம முழுஎண்கள்.^[2]

ஒரு நேர்ம-அரைவரைவு அணிக்கு ஒரேயொரு நேர்ம-அரைவரைவு வர்க்கமூலம் மட்டுமே இருக்கும். அது மூல அணியின் முதன்மை வர்க்கமூலம் எனப்படும்.
ஒரு எதிர்மமற்ற முழு எண்ணின் வர்க்கமூலம் மீண்டும் ஒரு முழுஎண்ணாகவோ அல்லது விகிதமுறா எண்ணாக இருக்கும். ஆனால் ஒரு முழுஎண் அணியின் வர்க்கமூல அணியின் உறுப்புகள் முழுஎண்கள் அல்லாத விகிதமுறு எண்களாக இருக்கலாம்.

(\begin{matrix} 0 & 4 \\ - 1 & 5 \end{matrix})

அணியின் வர்க்கமூல அணிகள்:

(\begin{matrix} \frac{2}{3} & \frac{4}{3} \\ - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} \end{matrix})

-முழுஎண் அல்லாத வர்க்கமூல அணி.

(\begin{matrix} 2 & - 4 \\ 1 & - 3 \end{matrix})

-முழுஎண்கள் அணி.

வெவ்வேறான பூச்சியமற்ற ஐகென் மதிப்புகளையுடைய 2×2 அணிக்கு நான்கு வர்க்கமூலங்கள் உண்டு.

வெவ்வேறான பூச்சியமற்ற வார்ப்புரு:Mvar ஐகென் மதிப்புகளையுடைய வார்ப்புரு:Mvar அணிகள் 2ⁿ வர்க்கமூலங்கள் கொண்டிருக்கும்.

மெய்யெண்களைப் போன்றே ஒரு மெய்யெண் அணிக்கு மெய்யெண் வர்க்கமூலம் இல்லாமல் சிக்ககெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட வர்க்கமூலம் இருக்கலாம்.
வர்க்கமூலங்களே இல்லாத அணிகளும் உண்டு.

(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix})

அணிக்கு வர்க்கமூலம் இல்லை.

நேர்ம மெய்யெண் ஐகென் மதிப்புகளைக் கொண்ட சிக்கலெண் அணிக்கு நேர்ம மெய்யெண் ஐகென் மதிப்புகளுடைய ஒரேயொரு தனித்த வர்க்கமூல அணி மட்டுமே இருக்கும். இந்த வர்க்கமூலம் மூல அணியின் முதன்மை வர்க்கமூல அணி எனப்படும். மேலும் அணிகளின் கணத்தில் முதன்மை வர்க்கமூலம் காணும் செயல் தொடர்ச்சியானது.^[3]

↑ வார்ப்புரு:Citation
↑ Mitchell, Douglas W. "Using Pythagorean triples to generate square roots of I₂". The Mathematical Gazette 87, November 2003, 499-500.
↑ வார்ப்புரு:Cite book