அரைமுப்படிப் பரவளைவு

வார்ப்புரு:Mvar இன் வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கு அரைமுப்படிப் பரவளைவு.

கணிதத்தில், அரைமுப்படிப் பரவளைவு , அரைக்கனவடிவப் பரவளைவு அல்லது நுதிக்குரிய கனவடிவடிம் (semicubical parabola, cuspidal cubic) என்பது உள்ளுறைச் சமன்பாடுடையதொரு இயற்கணிதத் தள வளைவரையாகும். அதன் உள்ளுறைச் சமன்பாடு காட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமைகளில்: $y^2-a^2{x}^3=0$ (வார்ப்புரு:Math).

வார்ப்புரு:Mvar -க்குத் தீர்வு காண, அதன் "வெளிப்படை வடிவச் சமன்பாடு" கிடைக்கிறது.

$y=\pm a{x}^{\frac{3}{2}},$. இதிலிருந்து ஒவ்வொரு மெய்யெண் புள்ளியும்

வார்ப்புரு:Math என்பதை நிறைவுசெய்யும் என்பதையும், சமன்பாட்டிலுள்ள வார்ப்புரு:Math இன் அடுக்கானது இவ்வளைகோட்டிற்கான பெயரிலுள்ள "அரைமுப்படி" என்பதற்கானக் காரணத்தையும் அறியலாம்.(பரவளைவின் சமன்பாடு: வார்ப்புரு:Math.)

உள்ளுறைச் சமன்பாட்டை வார்ப்புரு:Mvar -க்குத் தீர்வு காண இரண்டாவதாக ஒரு வெளிப்படைச் சமன்பாடு கிடைக்கிறது:

$x={\left(\frac{y}{a}\right)}^{\frac{2}{3}}.$

$t=\frac{y}{ax}.$ என உள்ளுறை சமன்பாட்டில் பதிலிடுவதன் மூலம் அரைமுப்படிப் பரவளைவிற்குப் பின்வரும் துணையலகுச் சமன்பாட்டையும் பெறலாம்:

$x=t^2,y=a{t}^3$

ஆங்கிலக் கணிதவியலாளர் வில்லியம் நெயில் என்பவர் இவ்வளைகோட்டின் வில்லின் நீளத்தைக் கணக்கிட்டு, 1657 இல் வெளியிட்டார்.

பண்புகள்

வடிவொப்புமை

$(t^2,a{t}^3)$ -துணையலகு உருவகிப்பைக் கொண்ட எந்தவொரு அரைமுப்படிப் பரவளைவும் வார்ப்புரு:Nowrap என்ற அரைமுப்படி அலகு பரவளவுடன் வடிவொத்ததாக இருக்கும்.

நிறுவல்: $(x,y)\to (a^{2}x,a^{2}y)$ என வரையறுக்கப்பட்ட வடிவொப்புமையானது (சீரான அளவுமாற்றம், $(t^2,a{t}^3)$ என்ற அரைமுப்படிப் பரவளைவை முழுவதுமாக $((at{)}^2,(at{)}^3)=(u^2,u^3)$ (வார்ப்புரு:Nowrap) என்ற வளைவரையோடு இணைக்கிறது.

தொடுகோடுகள்

$y=\pm x^{3/2}$ என்ற அரைமுப்படிப் பரவளைவின் கார்ட்டீசியன் சமன்பாட்டை வளைவரையின் மேற்கிளையிலுள்ள புள்ளி $(x_0,y_0)$ இல் வகையிட, அப்புள்ளியிலமையும் தொடுகோட்டின் சமன்பாடு கிடைக்கும்:

$y=\frac{\sqrt{x_0}}{2}(3x-x_0).$

இத்தொடுகோடு வளைவரையின் கீழ்க்கிளையைப் பின்வரும் ஒரேயொரு புள்ளியில் சந்திக்கும்:

$(\frac{x_0}{4},-\frac{y_0}{8}).$

வில்லின்நீளம்

$(x(t),y(t))$ என்ற வளைவரையின் வில்லின் நீளத்தைப் பின்வரும் தொகையிடல் மூலம் காணலாம்:

$\int \sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}dt.$

அரைமுப்படிப் பரவளைவு $(t^2,a{t}^3),0\le t\le b,$ இன் வில்லின் நீளம்:

$\underset{0}{\overset{b}{\int }}\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}dt=\underset{0}{\overset{b}{\int }}t\sqrt{4+9a^2{t}^2}dt=\cdots ={\left[\frac{1}{27a^2}{(4+9a^2{t}^2)}^{\frac{3}{2}}\right]}_0^b.$

( வார்ப்புரு:Nowrap

எடுத்துக்காட்டு: வார்ப்புரு:Math (அரைமுப்படி அலகு பரவளைவு) மற்றும் வார்ப்புரு:Math எனில், பரவளைவின் மீதுஅமையும் (0, 0), (4,8) ஆகிய இரு புள்ளிகளை இணைக்கும் வில்லின் நீளம் 9.073 ஆகக் கிடைக்கும்.

மலரி

$(t^2,t)$ என்ற பரவளைவின் மலரியானது மூலப் பரவலைவிலிருந்து x-அச்சு திசையில் 1/2 அளவு நகர்த்தப்பட்ட அரைமுப்படிப் பரவளைவாகும்:

$(\frac{1}{2}+t^2,\frac{4}{{\sqrt{3}}^3}{t}^3).$

கோண-தூர ஆயதொலைவுகள்

$(t^2,a{t}^3)$ என்ற அரைமுப்படிப் பரவளைவின் உருவகிப்பைப் கோணதூர ஆயதொலைவுகளில் காண்பதற்கு, $y=mx$ என்ற கோடானது அரைமுப்படிப் பரவளைவை வெட்டும் புள்ளியைக் காண வேண்டும். இவை இரண்டும் வெட்டும் புள்ளிகள்:

$m\ne 0$ எனில், $(0,0)$ மற்றும் $(\frac{m^2}{a^2},\frac{m^3}{a^2}).$

இவ்விரண்டிற்கும் இடைப்பட்ட தூரம்: $\frac{m^2}{a^2}\sqrt{1+m^2}$

$m=\tan \phi ,$ ${\sec }^2\phi =1+{\tan }^2\phi$ என்ற பதிலிடலை மேற்கொள்ளக் கிடைப்பது:

$r={\left(\frac{\tan \phi }{a}\right)}^2\sec \phi ,-\frac{\pi }{2}<\phi <\frac{\pi }{2}.$

இதுவே அரைமுப்படிப் பரவளைவின் கோணதூர ஆயதொலைவுகள்.

மேற்கோள்கள்

• August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten , 1875, Dissertation
• Clifford A. Pickover: The Length of Neile's Semicubical Parabola

வெளியிணைப்புகள்

• வார்ப்புரு:MacTutor