பரவளைவு

ஒரு பரவளைவு

பரவளைவு உண்டாக்கும் கூம்பின் வெட்டு: மேற்பரப்பின் உச்சியில் இருந்து வரைந்த ஒரு நேர்கோட்டுக்கு இணையாக வெட்டும் வெட்டு.

கணிதத்தில் பரவளைவு அல்லது பரவளையம் (ஆங்கிலம்:parabola) என்பது ஓர் கூம்பு வெட்டாகும். இக்கூம்பு வெட்டின் ஆங்கிலப் பெயர், parabola என்பது παραβολή என்ற கிரேக்கச் சொல்லிலிருந்து தோன்றியது. ஓர் நேர்வட்டக் கூம்பின் உச்சியையும் அதன் அடிவட்டப் பரிதியில் அமையும் ஒரு புள்ளியையும் இணைக்கும் கோட்டிற்கு இணையான ஒரு தளத்தால், அக்கூம்பு வெட்டப்படும் போது கிடைக்ககூடிய வெட்டுமுக வடிவமே பரவளையமாகும்.

பரவளையத்தின் மற்றுமொரு வரையறை:

ஒரு நிலையான புள்ளி மற்றும் ஒரு நிலையான கோடு இரண்டிலிருந்தும் எந்த நிலையிலும் சமதூரத்திலேயே உள்ளவாறு இயங்கும் ஒரு புள்ளியின் இயங்குவரையாகப் பரவளைவு வரையறுக்கப்படுகிறது. இவ்வரையறையில் குறிப்பிடப்படும் நிலையான புள்ளி பரவளைவின் குவியம்) எனவும் நிலையான கோடு பரவளைவின் இயக்குவரை எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன.

பரவளைவின் இயக்குவரைக்குச் செங்குத்தாகக் குவியத்தின் வழியே செல்லும் கோடு பரவளைவின் சமச்சீர் அச்சு என அழைக்கப்படும். இந்த அச்சும் பரவளைவின் வளைவரையும் வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளி பரவளைவின் உச்சி எனப்படும். பரவளைவின் உச்சிப் புள்ளியில் வளைவரையின் வளைவு மிக அதிகமாக இருக்கும். பரவளைவுகள் மேற்புறம், கீழ்ப்புறம், இடப்புறம் மற்றும் வலப்புறம் திறந்த அமைப்புகளாக அமையலாம். பரவளைவுகள் வடிவொத்தவை.

தானுந்துகளில் அமைக்கப்பட்டுள்ள முகப்பு விளக்குகளிலிருந்து ஏவுகணைகள் வரை பரவளைவுகளின் பயன்பாடு விரிந்துள்ளது. இயற்பியல், பொறியியல் போன்ற முக்கியமான பலதுறைகளில் பரவளைவு பயன்படுகிறது.

வரலாறு

லியொனார்டோ டா வின்சியால் வடிவமைக்கப்பட்ட பரவளையக் கவராயம்

பரவளையங்கள் கூம்பு வெட்டுகளாகும்.

கூம்பு வெட்டுகளைப் பற்றி முதன்முதலாக கிமு நான்காம் நூற்றாண்டின் கிரேக்க கணிதவியலாளர் மெனக்மஸ் ஆராய்ந்துள்ளார். கவராயமும் நேர்விளிம்பும் கொண்டு தீர்க்கமுடியாத கணக்கான கனசதுரத்தை இரட்டிப்பாக்குதலுக்கு இவர் பரவளைவுகளைப் பயன்படுத்தித் தீர்வு கண்டார். (எனினும் அத்தீர்வு கவராயம் மற்றும் நேர்விளிம்பு வரைமுறை எதிர்நோக்கும் தேவைகளைப் பூர்த்தி செய்யவில்லை). கிமு மூன்றாம் நூற்றாண்டில் ஆர்க்கிமிடீசால், அவரது படைப்பான The Quadrature of the Parabola இல் பரவளையத்துண்டு என அழைக்கப்பட்ட பரவளையத்துக்கும் ஒரு கோட்டுத்துண்டுக்கும் இடைப்பட்டப் பரப்பு கணக்கிடப்பட்டது. இந்த வளைவரைக்குப் பரவளைவு என்ற பெயரிட்டது கணிதவியலாளர் அப்பலோனியசாகும். பரவளைவு மற்றும் பிற கூம்பு வெட்டிகளின் குவியம்-இயக்குவரை பண்பைக் கண்டுபிடித்தவர் அலெக்சாண்டிரியாவின் கணிதவியலாளர் பாப்பஸ்.

புவியீர்ப்பினால் ஏற்படும் சீரான முடுக்கத்தின் விளைவாக ஒரு எறிபொருளின் பாதை பரவளைவாக அமைவதைக் கலீலியோ கண்டுபிடித்தார். தெறிப்புவகைத் தொலைநோக்கிக் கண்டுபிடிக்கப்படும் முன்பே ஒரு பரவளைவுத் தெறிப்பியால் ஒரு பிம்பத்தை உருவாக்க முடியும் என்ற கருத்து நன்கறியப்பட்டிருந்தது. ரெனே டேக்கார்ட், மாரின் மெர்சென்னே மற்றும் ஜேம்ஸ் கிரகரி போன்ற பல கணிதவியலாளர்களால் அதற்கான வடிவமைப்புகள் முன் வைக்கப்பட்டன. 1668 இல் முதல் தெறிப்புவகைத் தொலைநோக்கி உருவாக்கிய ஐசக் நியூட்டன் அமைப்பது கடினம் என்ற காரணத்தால் பரவளைய எதிரொளிப்பிக்குப் பதில் கோளவடிவ எதிரொளிப்பியைப் பயன்படுத்தினார். பெரும்பாலான தற்காலத்தைய தெறிப்புவகைத் தொலைநோக்கிகள், செயற்கைக்கோள் தட்டுகள் மற்றும் ராடார் ஏற்பிகளில் பரவளைய ஆடிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

சமன்பாடு-கார்ட்டீசியன் ஆள்கூறுகளில்

பரவளையத்தின் இயக்குவரையின் சமன்பாடு: x = −p; குவியம் (p, 0) மற்றும் பரவளையத்தின் மீது ஏதேனும் ஒரு புள்ளி (x, y) எனில்:

பாப்பசின் பரவளைய வரையறைப்படி, புள்ளிக்கும் குவியத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரமும் அப்புள்ளிக்கும் இயக்குவரைக்கும் இடையேயுள்ள தூரமும் சமமாக இருக்கும்.

$x+p=\sqrt{(x-p{)}^2+y^2}.$

இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்திச் சுருக்க:

$y^2=4px$

இதுவே பரவளையத்தின் சமன்பாடாகும். இச்சமன்பாட்டில் x மற்றும் y இரண்டையும் பரிமாற்றக் கிடைக்கும் சமன்பாடு தருவது நிலைக்குத்து அச்சினைக் கொண்ட பரவளையம்.

$x^2=4py.$

பரவளையத்தின் உச்சியை ஆதியாக மட்டுமல்லாமல் வேறு ஏதேனுமொரு புள்ளி (h, k) ஆக எடுத்துக் கொண்டால் நிலைக்குத்து அச்சு கொண்ட பரவளைவின் சமன்பாடு:

$(x-h{)}^2=4p(y-k).$

இச்சமன்பாட்டைப் பின்வருமாறும் கொள்ளலாம்:

$y=a{x}^2+bx+c$

எனவே x இல் அமைந்த இருபடிச் சார்பின் வரைபடம் நிலைக்குத்து அச்சினைக் கொண்டதொரு பரவளையமாகும்.

பொதுவாக பரவளையமானது கார்ட்டீசியன் தளத்தில் பின்வரும் சமன்பாட்டால் (தரப்பட்டக் கட்டுப்பாட்டுக்கு உட்பட்டு) குறிக்கப்படும்:

$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$

இச்சமன்பாடு பரவளைவைக் குறிப்பதற்குத் தேவையான கட்டுப்பாடு:

$B^2=4AC,$

இச்சமன்பாட்டின் கெழுக்கள் எல்லாம் மெய்யெண்கள். மேலும் A மற்றும் C இரண்டும் ஒரே சமயத்தில் பூச்சியமாக இருக்காது.

இச்சமன்பாடு பரவளைவைக் குறிக்க, இரு நேரியல் சமன்பாடுகளாகக் காரணிப்படுத்த இயலாத ஒன்றாக இருக்க வேண்டும். பின்வரும் 3×3 அணிக்கோவையின் மதிப்பு பூச்சியமாக இல்லாமல் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே மேலே தரப்பட்ட சமன்பாட்டினைப் பிரிக்க முடியாது.

$\det \left[\begin{array}{ccc}A& B/2& D/2\\ B/2& C& E/2\\ D/2& E/2& F\end{array}\right]=0$

அதாவது, $(AC-B^2/4)F+BED/4-C{D}^2/4-A{E}^2/4=0$

அவ்வாறு பிரிக்கக் கூடியதாயின் அச்சமன்பாடு இரட்டைக் கோடுகளைக் குறிக்கும். அவ்விரண்டு கோடுகளும் இணையான, கற்பனையான அல்லது ஒன்றோடொன்று பொருந்தும் கோடுகளாக அமையலாம்.

தொகுப்பு

பரவளையத்தின் உச்சி $(h,k)$ மற்றும் உச்சியிலிருந்து குவியத்திற்கும் இயக்குவரைக்கும் இடையேயுள்ள தூரங்கள் $p$ எனில்:

நிலைக்குத்து சமச்சீர் அச்சுடைய பரவளையம்

கார்ட்டீசியன் வடிவம்:

$(x-h{)}^2=4p(y-k)$

$y=\frac{(x-h{)}^2}{4p}+k$

$y=a{x}^2+bx+c$

இங்கு

$a=\frac{1}{4p};b=\frac{-h}{2p};c=\frac{h^2}{4p}+k;$

$h=\frac{-b}{2a};k=\frac{4ac-b^2}{4a}$.

துணையலகு வடிவம்:

$x(t)=2pt+h;y(t)=p{t}^2+k$

கிடைமட்ட சமச்சீர் அச்சுடைய பரவளையம்

கார்ட்டீசியன் வடிவம்:

$(y-k{)}^2=4p(x-h)$

$x=\frac{(y-k{)}^2}{4p}+h;$

$x=a{y}^2+by+c$

இங்கு

$a=\frac{1}{4p};b=\frac{-k}{2p};c=\frac{k^2}{4p}+h;$

$h=\frac{4ac-b^2}{4a};k=\frac{-b}{2a}$.

துணையலகு வடிவம்:

$x(t)=p{t}^2+h;y(t)=2pt+k$

பொது வடிவம்

பரவளையத்தின் பொதுவடிவம்:

$(\alpha x+\beta y{)}^2+\gamma x+\delta y+ϵ=0$

கூம்புவெட்டின் பின்வரும் பொதுச்சமன்பாட்டிலிருந்து இச்சமன்பாடு பெறப்படுகிறது:

$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$ மற்றும் பரவளையத்திற்கான கட்டுப்பாடு

$B^2=4AC$.

பொதுவாக:

குவியம் F(u, v) மற்றும் இயக்குவரை $ax+by+c=0$ கொண்ட பரவளையத்தின் சமன்பாடு:

$\frac{{(ax+by+c)}^2}{a^2+b^2}={(x-u)}^2+{(y-v)}^2$

ஏனைய வடிவவியல் வரையறைகள்

• ஒரு பரவளையத்தை மையவிலக்கம் 1 ஆகக் கொண்ட கூம்பு வெட்டாகக் கருதலாம். இதன் விளைவாக அனைத்து பரவளைவுகளும் வடிவொத்தவை. அதாவது அனைத்து பரவளையங்களின் அளவுகள் வெவ்வேறாக இருந்தாலும் அவற்றின் வடிவங்கள் சமமாக இருக்கும்.
• ஒரு குவியம் நிலையானதாகவும் மற்றொரு குவியம் ஏதாவது ஒரு திசையில் தொலைவாக நகருகின்ற நீள்வட்டத் தொடர்களின் எல்லையாக பரவளையத்தைக் கருதலாம்.
• இரண்டில் ஒரு குவியத்தினை முடிவிலியில் கொண்ட நீள்வட்டமாக, பரவளையத்தைக் கருதலாம்.
• இதயவளையின் நேர்மாறு உருமாற்றமாகப் பரவளையம் அமையும்.

பரவளைவிற்கு ஒரேயொரு பிரதிபலிப்புச் சமச்சீர் அச்சு உண்டு. இந்த அச்சு பரவளையத்தின் குவியத்தின் வழியாக இயக்குவரைக்குச் செங்குத்தாக அமையும். இந்த அச்சும் பரவளையமும் சந்திக்கும் புள்ளி பரவளையத்தின் உச்சி என அழைக்கப்படுகிறது. பரவளையமானது இவ்வச்சைப் பொறுத்து சுழல்வதால் உருவாகும் முப்பரிமாண வடிவம் பரவளையத்திண்மம் எனப்படும்.

பரவளைய வடிவத் தோற்றங்களை நடைமுறையில் பல இடங்களில் காண முடியும்.

குவியம் காணல்

பரவளையத்தின் இயக்குவரை (L) மற்றும் (F). எப்பொழுதுமே P_nQ_n - P_nF = மாறிலி.

பரவளையத்தின் நாண் (L), குவியம் (F) உச்சி (V). பரவளையத்தின் அச்சுக்குச் செங்குத்தாக உச்சியிலிருந்து குவியத்தின் மறுபக்கத்தில் வரையப்பட்ட ஏதேனும் ஒரு கோடு L. F - P_n - Q_n பாதையின் நீளம் எப்பொழுதும் சமமாக சமமாக இருக்கும். இது பரவளையம், இரண்டில் ஒரு குவியத்தை முடிவிலியில் கொண்டுள்ள நீள்வட்டமெனச் சொல்வதைப் போன்றது.

ஆதி (0,0) யை உச்சியாகவும் y-அச்சை சமச்சீர் அச்சாகவும் கொண்ட பரவளையம்:

$y=a{x}^2$

குவியம் F (0,f) மற்றும் இயக்குவரை கோடு L மற்றும் P பரவளையத்தின் மீது ஏதேனும் ஒரு புள்ளி எனில் பரவளையத்தின் வரையறைப்படி:

$\Vert FP\Vert =\Vert QP\Vert$

இயக்குவரை பரவளையத்தின் சமச்சீர் அச்சிற்குச் செங்குத்தாக இருக்கும் என்பதால் இங்கு இயக்குவரை x அச்சுக்கு இணையாகவும் (0,-f) புள்ளிவழியாக செல்வதாகவும் இருக்கும். எனவே பரவளையத்தின் மீதான புள்ளி P=(x,y) ஆனது (0,f) மற்றும் (x,-f) ஆகிய இரு புள்ளிகளிலிருந்தும் சமதூரத்தில் அமையும்.

x மற்றும் f-y இரண்டையும் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் தாங்கிப் பக்கங்களாகக் கொண்டால் அதன் செம்பக்கம் FP:

$\Vert FP\Vert =\sqrt{x^2+(f-y{)}^2}$

மேலும் QP:

$\Vert QP\Vert =f+y$

இரண்டையும் சமப்படுத்த:

$\Vert FP\Vert =\Vert QP\Vert$

$\sqrt{x^2+(f-a{x}^2{)}^2}=f+a{x}^2$

இருபுறமும் வர்க்கம் காண:

$x^2+(f^2-2a{x}^{2}f+a^2{x}^4)=(f^2+2a{x}^{2}f+a^2{x}^4)$

$x^2-2a{x}^{2}f=2a{x}^{2}f$

$x^2=4a{x}^{2}f$

x² ஆல் வகுக்க (x பூச்சியமற்றதாகக் கொள்ளப்படுகிறது):

$1=4af$

$f=\frac{1}{4a}$

எனவே பரவளையம் $y=a{x}^2$ என்பதை $4fy=x^2$ என எழுதலாம்.

• பரவளையத்தின் சமன்பாடு $y=x^2$ எனில் அதன் குவியம் F (0,¼) ஆகும்.

• பரவளையத்தின் சமன்பாடு $y=a{x}^2+bx+c$ எனில் அதன் குவியம்:

$(\frac{-b}{2a},\frac{-b^2}{4a}+c+\frac{1}{4a})$

$(\frac{-b}{2a},c-\frac{b^2-1}{4a})$

இயக்குவரையின் சமன்பாடு:

$y=\frac{-b^2}{4a}+c-\frac{1}{4a}$

$y=c-\frac{b^2+1}{4a}$

செவ்வகலம்

பரவளையத்தின் குவியத்தின் வழியாக அதன் இயக்குவரைக்கு இணையாக வரையப்பட்ட நாண் பரவளையத்தின் செவ்வகலம் (latus rectum) எனப்படும். செவ்வகலத்தில் பாதி அரைச் செவ்வகலம் எனப்படும்.

$y=a{x}^2$ பரவளையத்தின் செவ்வகலத்தின் நீளம் $2a.$

நம்மைச் சுற்றிக் காணப்படும் பரவளைவுகள்

மேற்கோள்கள்

• Lockwood, E. H. (1961): A Book of Curves, Cambridge University Press

வெளி இணைப்புகள்

• Apollonius' Derivation of the Parabolaat
• வார்ப்புரு:MathWorld
• Interactive parabola-drag focus, see axis of symmetry, directrix, standard and vertex forms
• Archimedes Triangle and Squaring of Parabola at cut-the-knot
• Two Tangents to Parabola at cut-the-knot
• Parabola As Envelope of Straight Lines at cut-the-knot
• Parabolic Mirror at cut-the-knot
• Three Parabola Tangents at cut-the-knot
• Module for the Tangent Parabola
• Focal Properties of Parabola at cut-the-knot
• Parabola As Envelope II at cut-the-knot
• The similarity of parabola at Dynamic Geometry Sketches, interactive dynamic geometry sketch.
• a method of drawing a parabola with string and tacks வார்ப்புரு:Webarchive