ஆய்லர் எண்

எண்கோட்பாட்டில் ஆய்லர் எண்கள் (Euler numbers) E_n என்பவை முழு எண்களில் அமைந்த ஒரு தொடர்வரிசை (வார்ப்புரு:OEIS) ஆகும். இவ்வெண்கள் பின்வரும் டெய்லர் தொடர் விரிவால் தரப்படுகின்றன:

$\frac{1}{\cosh t}=\frac{2}{e^t+e^{-t}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{E_n}{n!}\cdot t^n$

இதில் cosh t என்பது அதிபரவளையச் கொசைன் சார்பாகும்.

ஒற்றைக் குறியெண் கொண்ட ஆய்லர் எண்கள் அனைத்தும் பூச்சியமாகும். இரட்டைக் குறியெண் கொண்ட ஆய்லர் எண்கள் (வார்ப்புரு:OEIS) ஒன்றுவிட்டு ஒன்று மாறுபட்ட குறியுடையவை:

E₀ = 1

E₂ = −1

E₄ = 5

E₆ = −61

E₈ = 1,385

E₁₀ = −50,521

E₁₂ = 2,702,765

E₁₄ = −199,360,981

E₁₆ = 19,391,512,145

E₁₈ = −2,404,879,675,441 .....

சீக்கெண்ட் மற்றும் அதிபரவளைய சீகெண்ட் சார்புகளின் டெய்லர் தொடர் விரிவுகளில் ஆய்லர் எண்கள் காணப்படுகின்றன.

வாய்ப்பாடுகள்

ஆய்லர் எண்களுக்கான சில வாய்ப்பாடுகள்:

• $E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{j=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})\frac{(-1{)}^j(k-2j{)}^{2n+1}}{2^k{i}^{k}k}$

இங்கு i கற்பனை அலகு; i²=−1.

• $E_{2n}=(2n)!\sum _{0\le k_1,\dots ,k_n\le n}\left(\begin{array}{c}K\\ k_1,\dots ,k_n\end{array}\right){\delta }_{n,\sum m{k}_m}{\left(\frac{-1}{2!}\right)}^{k_1}{\left(\frac{-1}{4!}\right)}^{k_2}\cdots {\left(\frac{-1}{(2n)!}\right)}^{k_n},$

• $E_{2n}=(-1{)}^{n-1}(2n-1)!\sum _{0\le k_1,\dots ,k_n\le 2n-1}\left(\begin{array}{c}K\\ k_1,\dots ,k_n\end{array}\right){\delta }_{2n-1,\sum (2m-1)k_m}{\left(\frac{-1}{1!}\right)}^{k_1}{\left(\frac{1}{3!}\right)}^{k_2}\cdots {\left(\frac{(-1{)}^n}{(2n-1)!}\right)}^{k_n},$

$K=k_1+\cdots +k_n$ மற்றும்

$\left(\begin{array}{c}K\\ k_1,\dots ,k_n\end{array}\right)\equiv \frac{K!}{k_1!\cdots k_n!}$

• $\begin{array}{cc}{E}_{2n}& =(-1{)}^n(2n)!\left|\begin{array}{ccccc}\frac{1}{2!}& 1& & & \\ \frac{1}{4!}& \frac{1}{2!}& 1& & \\ ⋮& & \ddots & \ddots & \\ \frac{1}{(2n-2)!}& \frac{1}{(2n-4)!}& & \frac{1}{2!}& 1\\ \frac{1}{(2n)!}& \frac{1}{(2n-2)!}& \cdots & \frac{1}{4!}& \frac{1}{2!}\end{array}\right|.\end{array}$

• $|E_{2n}|>8\sqrt{\frac{n}{\pi }}{\left(\frac{4n}{\pi e}\right)}^{2n}.$

வெளி இணைப்புகள்

• வார்ப்புரு:Springer
• வார்ப்புரு:MathWorld