உருளை (வடிவவியல்)

நேர் வட்ட உருளை

வடிவவியலில் உருளை (வார்ப்புரு:Audio) (cylinder) என்பது, அடிப்படை வளைகோட்டு வடிவங்களில் ஒன்றாகும். தரப்பட்ட ஒரு கோட்டுத் துண்டிலிருந்து மாறாத தூரத்தில் அமையும் புள்ளிகளால் உருவாகும் பரப்பு உருளையாகும். தரப்பட்ட அந்தக் கோட்டுத் துண்டு உருளையின் அச்சு எனப்படும். இப்பரப்பாலும் மேலும் அச்சுக்கு செங்குத்தான இரு தளங்களாலும் அடைபடும் திடப்பொருளும் உருளை எனப்படும். உருளையின் புறப்பரப்பும் கன அளவும் பண்டைக் காலத்திலேயே அறியப்பட்டிருந்திருக்கின்றன. வகையீட்டு வடிவவியலில், உருளையானது இன்னும் பரந்த அளவில், ஒரு துணையலகில் அமைந்த இணைகோடுகளின் குடும்பத்தால் நீட்டிக்கப்பட்ட, கோடிட்ட பரப்பாக வரையறுக்கப்படுகிறது. ஓர் உருளையின் வெட்டுப்பகுதி,

• நீள்வட்டமாக இருந்தால் அது நீள்வட்ட உருளை;
• பரவளையமாக இருந்தால் அது பரவளைய உருளை;
• அதிபரவளையமாக இருந்தால் அது அதிபரவளைய உருளை ஆகும்.

பொதுவான பயன்பாடு

பொதுப் பயன்பாட்டில் ஓர் உருளையானது, ஒரு நேர் வட்ட உருளையின் முடிவுறு பகுதியாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது. நேர் வட்ட உருளை என்பது, அடிப்பக்கத்திற்கு செங்குத்தான கோடுகளால் உருவாக்கப்பட்டு, இரு ஓரங்களிலும் வட்டவடிவிலான இரு பரப்புகளால் அடைக்கப்பட்ட வடிவமாகும்.(படத்தில் காண்க)

உருளையின் ஆரம் r மற்றும் நீளம்(உயரம்) h எனில், அதன் கன அளவு:

V = πr²h

அதன் புறப்பரப்பு:

• மேல் பகுதியின் பரப்பு - (πr²) +
• அடிப்பகுதியின் பரப்பு - (πr²) +
• பக்கப் பரப்பு - (2πrh).

அடி மற்றும் மேற்பரப்பு நீங்கலாக, புறப்பரப்பு:

A = 2πrh.

அடி மற்றும் மேற்பரப்பும் சேர்த்த புறப்பரப்பு:

A = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h).

• தரப்பட்ட கன அளவுக்கு, மிகச் சிறிய அளவு புறப்பரப்பு கொண்ட உருளைக்கு: h = 2r.
• தரப்பட்ட புறப்பரப்பிற்கு மிக அதிக அளவு கொண்ட உருளைக்கு: h = 2r. அதாவது அந்த உருளை ஒரு கனசதுரத்துக்குள் பொருந்தும்.(உயரம் = விட்டம்)

கன அளவு

நேர் வட்ட உருளையின் உயரம் h அலகுகள், அடி ஆரம் r அலகுகள், உருளையின் ஓர் அடிப்பாகத்தின் மையத்தை ஆதியாகவும் உருளையின் உயரம், x -அச்சின் நேர்ம திசையில் அளக்கப்படுவதாகவும் எடுத்துக் கொள்க:

ஆதியிலிருந்து x அலகுகள் தூரம் வரை உள்ள உருளையின் பகுதியின் பரப்பு A(x) (சதுர அலகுகள்):

$A(x)=\pi r^2$

அல்லது,

$A(y)=\pi r^2$

ஒரு நேர் உருளையின் அடிப்பரப்பு Aw_i -சதுர அலகுகளும், தடிமம் Δ_ix அலகுகளும் அடங்கியது கன அளவாகும். எனவே நேர் வட்ட உருளையின் கன அளவு, ரீமான் கூட்டலின்(Riemann sums) படி:

V கன அலகுகள்:

$=\underset{||\mathrm{\Delta }\to 0||}{\lim }\sum _{i=1}^{n}A(w_i){\mathrm{\Delta }}_{i}x$

$=\underset{0}{\overset{h}{\int }}A(y)dy$

$=\underset{0}{\overset{h}{\int }}\pi r^{2}dy$

$=\pi r^{2}h$

உருளை ஆயமுறையைப் பயன்படுத்தி இக்கனஅளவைத் தொகையிடலாகவும் கணக்கிடலாம்.

$=\underset{0}{\overset{h}{\int }}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{r}{\int }}sdsd\varphi dz$

$=\pi r^{2}h$

உருளையான பகுதி

உருளையான பகுதிகள் என்பவை, உருளைகளைத் தளங்களால் வெட்டுவதனால் ஏற்படக்கூடிய பகுதிகளாகும். நேர் வட்ட உருளைக்கு நான்கு விதமான சாத்தியக் கூறுகள் உள்ளன.

• உருளைக்குத் தொடுதளமாக அமையும் தளமானது, உருளையை ஒரு நேர்கோட்டில் சந்திக்கும்.
• அந்த தளத்தை அதற்கு இணையாகவே நகர்த்தும் போது, ஒன்று அது உருளையை வெட்டுவதே இல்லை அல்லது உருளையை இரு இணை தளங்களில் சந்திக்கும்.
• ஏனைய தளங்கள் எல்லாம் உருளையை நீள்வட்டத்தில் வெட்டும்,
• அல்லது தளமானது உருளையின் அச்சுக்கு செங்குத்தாக இருந்தால், வட்டத்தில் வெட்டும்.

பிற வகை உருளைகள்

நீள்வட்ட உருளை

• நீள்வட்ட உருளை அல்லது உருளையுரு(elliptic cylinder) என்பது ஓர் இருபடிப் பரப்பாகும்.(quadric surface) அதன் கார்டீசியன் சமன்பாடு:

${\left(\frac{x}{a}\right)}^2+{\left(\frac{y}{b}\right)}^2=1$

இந்த நீள்வட்ட உருளையின் சமன்பாடு, சாதாரண வட்ட உருளையின் சமன்பாட்டின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். (a = b).

சமன்பாட்டில், ஆய தொலைவுகளில் குறைந்தது ஒன்றாவது (இங்கு z)இல்லாமல் இருப்பதால், உருளையானது, சிதைந்த (degenerate) இருபடிப் பரப்பாகும்

• மிகவும் பொதுவான உருளை: இதன் குறுக்குவெட்டுப் பகுதி, எந்தவொரு வளைவரையாகவும் இருக்கலாம்.

சாய்ந்த உருளை:

இந்த உருளையின் மேற்புறமும் அடிப்புறமும் ஒன்றுக்கொன்று நேராக இல்லாமல் நகர்த்தப்பட்டிருக்கும்.

• கற்பனையான நீள்வட்ட உருளை:

இவை அதிகமாக வழக்கத்தில் இல்லாத வகை உருளைகள். இதன் சமன்பாடு:

${\left(\frac{x}{a}\right)}^2+{\left(\frac{y}{b}\right)}^2=-1$

• அதிபரவளைய உருளை:

${\left(\frac{x}{a}\right)}^2-{\left(\frac{y}{b}\right)}^2=1$

• பரவளைய உருளை:

$x^2+2ay=0$

$v=(\alpha ,\beta ,\gamma )$

• தன்னிச்சையானதொரு அச்சைச் சுற்றி அமையும் உருளையான பரப்பை விவரிக்க கோள ஆயமுறைப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

${\rho }^2={\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2$

$\theta =arctan\left(\frac{\beta }{\alpha }\right)$

$\varphi =arcsin\left(\frac{\gamma }{\rho }\right)$

$A^2+B^2=R^2$

இங்கு, $A=-xsin(\theta )+ycos(\theta )cos(\varphi )+zcos(\theta )sin(\varphi )$

மற்றும் $B=-ysin(\varphi )+zcos(\varphi )$

$R,$ உருளையின் ஆரம். இம்முடிவுகள் பொதுவாக சுழற்சி அணிகளிலிருந்து பெறப்படுகின்றன.

வீழ்ப்பு வடிவவியல்

வீழ்ப்பு வடிவவியலில்

வீழ்ப்பு வடிவவியலில்(projective geometry), உருளையானது, முடிவிலியில் உச்சியைக் கொண்ட கூம்பாகும். சிதைந்த கூம்பு வெட்டுக்களை வரையறுக்கும்போது, உருளையான கூம்பு வெட்டு பயன்படுகிறது.

வெளி இணைப்புகள்

• Surface area of a cylinder at MATHguide
• Volume of a cylinder at MATHguide
• Spinning Cylinder at Math Is Fun
• Volume of a cylinder Interactive animation at Math Open Reference
• Cut a Cylinder Interactive demonstrations of the intersection of a plane and a cylinder