குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கம்
குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கம் (direct product of groups) என்பது குலக்கோட்பாட்டில் குலங்களுக்கிடையே நிகழும் ஒரு செயலி. வார்ப்புரு:Math , வார்ப்புரு:Math எனும் இரு குலங்களுக்கிடையே இச்செயலியைப் பயன்படுத்தக் கிடைக்கும் முடிவு ஒரு புதுக் குலமாக (வார்ப்புரு:Math) இருக்கும். கணங்களில் வரையறுக்கபட்டுள்ள கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் என்ற செயலிக்கு ஒத்தசெயலியாக இது குலங்களில் உள்ளது.
ஏபெல் குலங்களில் இப்பெருக்கம் சிலசமயங்களில் நேர்க் கூட்டல் (வார்ப்புரு:Math) எனக் குறிப்பிடப்படுகிறது . ஏபெல் குலங்களை வகைப்படுத்துவதில் நேர்க் கூட்டல் முக்கியப் பங்குவகிக்கிறது. முடிவுறு ஏபெல் குலங்களின் வரையறைப்படி, ஒவ்வொரு முடிவுறு ஏபெல் குலத்தையும் இரு சுழற் குலங்களின் நேர் கூட்டலாகக் காணமுடியும்.
வரையறை
தரப்பட்ட இரு குலங்கள் வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math எனில் அவற்றின் நேர்ப் பெருக்கம் வார்ப்புரு:Math பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
- வார்ப்புரு:Math என வரையறுக்கப்படும் ஈருறுப்புச் செயலியைப் பொறுத்து வார்ப்புரு:Math இல் குலங்களின் பண்புகள் நிறைவு செய்யப்படுவதால் அது ஒரு குலமாகிறது:
- சேர்ப்பு விதி
வார்ப்புரு:Math இல் வரையறுக்கப்பட்ட இந்த ஈருறுப்புச் செயலி சேர்ப்புத்தன்மை உடையது
- முற்றொருமை உறுப்பு
இக்குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பு வார்ப்புரு:Math. இதில் வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math இன் முற்றொருமை உறுப்பு; வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math இன் முற்றொருமை உறுப்பு.
- நேர்மாறு உறுப்புகள்
வார்ப்புரு:Math இன் உறுப்பு வார்ப்புரு:Math இன் நேர்மாறு உறுப்பு:
இங்கு வார்ப்புரு:Math இல் வார்ப்புரு:Math இன் நேர்மாறு உறுப்பு வார்ப்புரு:Math; வார்ப்புரு:Math இல் வார்ப்புரு:Math இன் நேர்மாறு உறுப்பு வார்ப்புரு:Math
எடுத்துக்காட்டுகள்
- மெய்யெண்களின் கூட்டல் குலம் வார்ப்புரு:Math எனில் நேர்ப்பெருக்கம்:
இதன் உறுப்புகள் வார்ப்புரு:Math திசையன்கள். திசையன் கூட்டலைப் பொறுத்து இது ஒரு குலமாகும்.
திசையன் கூட்டல்:
- வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math என்பவை இரு உறுப்புகள் கொண்ட சுழற் குலங்கள்:
- இவற்றின் நேர்ப் பெருக்கம் வார்ப்புரு:Math, கிளைன் நான்குறுப்பு குலத்துடன் சமஅமைவியமுடையது:
வார்ப்புரு:Math * வார்ப்புரு:Math வார்ப்புரு:Math வார்ப்புரு:Math வார்ப்புரு:Math வார்ப்புரு:Math வார்ப்புரு:Math வார்ப்புரு:Math வார்ப்புரு:Math வார்ப்புரு:Math வார்ப்புரு:Math வார்ப்புரு:Math வார்ப்புரு:Math வார்ப்புரு:Math வார்ப்புரு:Math வார்ப்புரு:Math வார்ப்புரு:Math வார்ப்புரு:Math வார்ப்புரு:Math வார்ப்புரு:Math வார்ப்புரு:Math வார்ப்புரு:Math வார்ப்புரு:Math வார்ப்புரு:Math வார்ப்புரு:Math
அடிப்படைப் பண்புகள்
- வார்ப்புரு:Math குலத்தின் கிரமம் வார்ப்புரு:Math மற்றும் வார்ப்புரு:Math குலங்களின் கிரமங்களின் பெருக்கற்பலனாக இருக்கும்:
- வார்ப்புரு:Math இன் ஒவ்வொரு உறுப்பு வார்ப்புரு:Math இன் கிரமம் வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math இன் கிரமங்களின் மீச்சிறு பொது மடங்காகும்:
- |வார்ப்புரு:Math| = வார்ப்புரு:Math( |வார்ப்புரு:Math|, |வார்ப்புரு:Math| ).
- குறிப்பாக |வார்ப்புரு:Math|, |வார்ப்புரு:Math| இரண்டும் சார்பகா எண்கள் (relatively prime) எனில் வார்ப்புரு:Math இன் கிரமம், வார்ப்புரு:Math மற்றும் வார்ப்புரு:Math இன் கிரமங்களின் பெருக்கற்பலனாகும்.
- வார்ப்புரு:Math , வார்ப்புரு:Math இரண்டும் சார்பாகா எண்களைக் கிரமமாகக் கொண்ட சுழற் குலங்கள் எனில் வார்ப்புரு:Math ம் ஒரு சுழற் குலமாக இருக்கும்.
வார்ப்புரு:Math , வார்ப்புரு:Math இரண்டும் சார்பகா எண்களெனில்
பொதுமைப்படுத்தல்
இரண்டிற்கும் மேற்பட்ட குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கத்தைக் காணமுடியும்.
தரப்பட்ட குலங்கள் வார்ப்புரு:Math எனில் அவற்றின் நேர்ப் பெருக்கம்
பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
- வார்ப்புரு:Math உறுப்புகள் வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math (ஒவ்வொரு வார்ப்புரு:Math க்கும்) வடிவில் அமையும்.
- வார்ப்புரு:Math இல் வரையறுக்கப்படும் செயலி:
வார்ப்புரு:Math = வார்ப்புரு:Math.
இரு குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கத்தின் பல பண்புகள் இதற்கும் பொருந்தும். முடிவுறா எண்ணிக்கையிலான குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கத்தையும் காணமுடியும்.