கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி

(1, x) இன் பல்வேறு சராசரிகளுக்கிடையே, வரையப்பட்டுள்ள கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியின் வரைபடம்.

கணிதத்தில், இரு நேர்ம மெய்யெண்களின் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி (arithmetic–geometric mean -AGM அல்லது agM) என்பது கூட்டுச் சராசரிகளின் தொடர்வரிசைக்கும், பெருக்கல் சராசரிகளின் தொடர்வரிசைக்குமான இணை எல்லையைக் குறிக்கும். கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியானது, அடுக்குக்குறிச் சார்புகள், முக்கோணவியல் சார்புகள், மற்ற சிறப்பு சார்புகள் ஆகியவற்றுக்கான விரைவு படிமுறைத் தீர்வுகளிலும், வார்ப்புரு:Mvar போன்ற சில கணித மாறிலிகளைக் கணக்கிடுவதற்கும் பயன்படுகிறது.

$a_i,$ $g_i$ ஆகிய இரு ஒன்றுக்கொன்று சார்ந்த தொடர்வரிசைகளின் எல்லையாக கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி வரையறுக்கப்படுகிறது:

$$\begin{array}{cc}{a}_0& =x,\\ g_0& =y\\ a_{n+1}& =\frac{1}{2}(a_n+g_n),\\ g_{n+1}& =\sqrt{a_n{g}_n}.\end{array}$$

இவ்விரு தொடர்வரிசைகளின் எல்லைகளும் வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math இரண்டின் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரிக்குச் சமமாக இருக்கும். இது வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியை சிக்கலெண்களுக்கும் நீட்டிக்கலாம். வர்க்க மூலத்தின் இரு கிளைகளையும் முரண்பட்டு எடுத்துக்கொள்ளப்படும்போது, பொதுவாகக் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி, ஒரு பன்மதிப்புச் சார்பாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு

வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math இன் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி காணும் தொடர்படிகள்:$$\begin{array}{ccccc}{a}_1& =& \frac{1}{2}(24+6)& =& 15\\ g_1& =& \sqrt{24\cdot 6}& =& 12\\ a_2& =& \frac{1}{2}(15+12)& =& 13.5\\ g_2& =& \sqrt{15\cdot 12}& =& 13.4164078649\dots \\ & & ⋮& & \end{array}$$

முதல் ஐந்து தொடர்முறையால் கிடைக்கும் மதிப்புகள்:

வார்ப்புரு:Math	வார்ப்புரு:Math	வார்ப்புரு:Math
0	24	6
1	15	12
2	13.5	13.416 407 864 998 738 178 455 042...
3	13.458 203 932 499 369 089 227 521...	13.458 139 030 990 984 877 207 090...
4	13.458 171 481 745 176 983 217 305...	13.458 171 481 706 053 858 316 334...
5	13.458 171 481 725 615 420 766 820...	13.458 171 481 725 615 420 766 806...

இவ்விரு தொடர்வரிசைகளின் பொது எல்லையே 24, 6 ஆகிய இரு எண்களின் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியாகும். அதன் தோராய மதிப்பு: வார்ப்புரு:Val.

வரலாறு

இந்த சோடி தொடர்வரிசைகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட முதல் படிமுறைத்தீர்வு, கணிதவியலாளர் லாக்ராஞ்சியின் ஆய்வுகளில் காணப்பட்டது. மேற்கொண்டு, அதன் பண்புகள் கணிதவியலாளர் காஸால் பகுத்தாய்வு செய்யப்பட்டன.

பண்புகள்

• இரு நேர்ம எண்களின் பெருக்கல் சராசரி, ஒருபோதும் கூட்டுச் சராசரியைவிடப் பெரியதாக இருக்காது. எனவே பெருக்கல் சராசரிகள் வார்ப்புரு:Math, கூடும் தொடர்வரிசையாகவும், கூட்டுச் சராசரிகள் வார்ப்புரு:Math, குறையும் தொடர்வரிசையாகவும் இருக்கும். மேலும் வார்ப்புரு:Math ஆகவும் இருக்கும். வார்ப்புரு:Math எனில் இவை கண்டிப்பான சமனிலிகளாக இருக்கும்.

வார்ப்புரு:Math இன் மதிப்பு, வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math இரண்டின் பெருக்குச் சராசரிக்கும் கூட்டுச் சராசரிக்கும் இடைப்பட்ட ஓர் எண்ணாக இருப்பதோடு, வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math இரண்டிற்கும் இடைப்பட்டதாகவும் இருக்கும்.

• வார்ப்புரு:Math எனில், வார்ப்புரு:Math.

• வார்ப்புரு:Math இன் தொகையீட்டு-வடிவம்:

$$\begin{array}{cc}M(x,y)& =\frac{\pi }{2}{\left(\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{x^2{\cos }^2\theta +y^2{\sin }^2\theta }}\right)}^{-1}\\ & =\pi {\left(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dt}{\sqrt{t(t+x^2)(t+y^2)}}\right)}^{-1}\\ & =\frac{\pi }{4}\cdot \frac{x+y}{K\left(\frac{x-y}{x+y}\right)}\end{array}$$

இதில் வார்ப்புரு:Math என்பது, முதல்வகை முழுமையான நீள்வட்டத் தொகையீடு:

$$K(k)=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2(\theta )}}$$

கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி, விரைவாக ஒருங்குவதால், நீள்வட்ட தொகையீடுகளைக் கணிப்பதற்குத் திறனுள்ள வழியைத் தருகிறது.

கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியானது ஜேக்கோபி தீட்டா சார்புடன் ( ${\theta }_3$) கீழுள்ளவாறு இணைக்கப்படுகிறது:

$$M(1,x)={\theta }_3^{-2}(\exp (-\pi \frac{M(1,x)}{M(1,\sqrt{1-x^2})}))={(\sum _{n\in \mathbb{Z}}\exp (-n^2\pi \frac{M(1,x)}{M(1,\sqrt{1-x^2})}))}^{-2},$$

இதில் $x=1/\sqrt{2}$ எனக் கொள்ள கீழுள்ள முடிவு கிடைக்கும்: $$M(1,1/\sqrt{2})={\left(\sum _{n\in \mathbb{Z}}{e}^{-n^2\pi }\right)}^{-2}.$$

தொடர்புள்ள கருத்துருக்கள்

1, 2 இன் வர்க்கமூலம் ஆகியவற்றின் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியின் தலைகீழி காஸின் மாறியாகும்:

$$\frac{1}{M(1,\sqrt{2})}=G=0.8346268\dots$$

1799 இல், காஸ் பின்வரும் முடிவை நிறுவினார்.

$$M(1,\sqrt{2})=\frac{\pi }{\varpi };$$ $\varpi$ என்பது கிடையெட்டுவடிவ மாறிலி.

1941 இல், $M(1,\sqrt{2})$ (and hence $G$) ஆனது விஞ்சிய எண் எனச் செருமானியக் கணிதவியலாளர் தியோடர் சினைடெரால் நிறுவப்பட்டது.

$\{\pi ,M(1,1/\sqrt{2})\}$ என்ற கணம், $\mathbb{Q}$ இன் மீது இயற்கணித சார்பற்றது ஆனால் $\{\pi ,M(1,1/\sqrt{2}),M^{\prime }(1,1/\sqrt{2})\}$ (இதிலுள்ள மேற்சுட்டு ' என்பது இரண்டாவது மாறியைப் பொறுத்த வகையிடலைக் குறிக்கிறது) என்ற கணம் $\mathbb{Q}$ இன் மீது இயற்கணித சார்பற்றது அல்ல. மேலும்,

$$\pi =2\sqrt{2}\frac{M^3(1,1/\sqrt{2})}{M^{\prime }(1,1/\sqrt{2})}.$$

கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியைப் போலவே, பெருக்குச் சராசரி, இசைச் சராசரி ஆகிய இரண்டின் தொடர்வரிசைகளின் மூலம் பெருக்கு-இசைச் சராசரியை (GH), பெறலாம்:

வார்ப்புரு:Math.

கூட்டு-இசைச் சராசரியானது, பெருக்கல் சராசரிக்குச் சமானமானதாக இருக்கும்.

மடக்கைகள், முழுமையான முதல், இரண்டாம் வகை நீள்வட்டத் தொகையீடுகள், முழுமையற்ற முதல், இரண்டாம் வகைநீள்வட்டத் தொகையீடுகளின் முதல், இரண்டாம் வகைத் தொகையீடுகள், ஜேக்கோபி நீள்வட்டச் சார்புகள்ஆகியவற்றைக் கணிப்பதற்குக், கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி பயன்படுகிறது.

இருத்தலுக்கான நிறுவல்

கூட்டு, பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனிலியின் விளைவாக$$g_n\le a_n$$ என்ற முடிவு கிடைக்கிறது. இதிலிருந்து$$g_{n+1}=\sqrt{g_n\cdot a_n}\ge \sqrt{g_n\cdot g_n}=g_n$$ எனப் பெறலாம். அதாவது வார்ப்புரு:Math என்ற தொடர்வரிசையானது குறையாத் தொடர்வரிசையாகவும் வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math ஆகிய இரண்டில் பெரியதைவிட அதிகவளவு வரம்புடையதாகவும் இருக்கும்.

மேலும், ஒருபோக்கு ஒருங்கல் தேற்றத்தின்படி, இத்தொடர்வரிசை, ஒருங்குமென்பதால், $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{g}_n=g$$ என்பதை நிறைவு செய்யும்விதத்தில் ஒரு வார்ப்புரு:Math இருக்கும்.

மேலும், $$a_n=\frac{g_{n+1}^2}{g_n}$$ என்பதால் கீழுள்ள முடிவு கிடைக்கிறது: $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{g_{n+1}^2}{g_n}=\frac{g^2}{g}=g$$

தொகையீட்டு வடிவின் நிறுவல்

கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியின் தொகையீட்டு வடிவம், காஸால் நிறுவப்பட்டது.

$$I(x,y)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{x^2{\cos }^2\theta +y^2{\sin }^2\theta }},$$ என எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது.

$$\sin \theta =\frac{2x\sin {\theta }^{\prime }}{(x+y)+(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime }},$$ என்றமையும் ${\theta }^{\prime }$ வுக்கு தொகையீட்டின் மாறியை மாற்ற:

$$\cos \theta =\frac{\sqrt{(x+y{)}^2-2(x^2+y^2){\sin }^2{\theta }^{\prime }+(x-y{)}^2{\sin }^4{\theta }^{\prime }}}{(x+y)+(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime }},$$

$$\cos \theta d\theta =2x\frac{(x+y)-(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime }}{((x+y)+(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime }{)}^2}\cos {\theta }^{\prime }d{\theta }^{\prime },$$

$$d\theta =\frac{2x\cos {\theta }^{\prime }((x+y)-(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime })}{((x+y)+(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime })\sqrt{(x+y{)}^2-2(x^2+y^2){\sin }^2{\theta }^{\prime }+(x-y{)}^2{\sin }^4{\theta }^{\prime }}}d{\theta }^{\prime },$$ $$x^2{\cos }^2\theta +y^2{\sin }^2\theta =\frac{x^2((x+y{)}^2-2(x^2+y^2){\sin }^2{\theta }^{\prime }+(x-y{)}^2{\sin }^4{\theta }^{\prime })+4x^2{y}^2{\sin }^2{\theta }^{\prime }}{((x+y)+(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime }{)}^2}=\frac{x^2((x+y)-(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime }{)}^2}{((x+y)+(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime }{)}^2}$$

$$⟹\frac{d\theta }{\sqrt{x^2{\cos }^2\theta +y^2{\sin }^2\theta }}=\frac{2x\cos {\theta }^{\prime }((x+y)-(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime })}{((x+y)+(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime })\sqrt{(x+y{)}^2-2(x^2+y^2){\sin }^2{\theta }^{\prime }+(x-y{)}^2{\sin }^4{\theta }^{\prime }}}\frac{((x+y)+(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime })}{x((x+y)-(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime })}=\frac{2\cos {\theta }^{\prime }d{\theta }^{\prime }}{\sqrt{(x+y{)}^2-2(x^2+y^2){\sin }^2{\theta }^{\prime }+(x-y{)}^2{\sin }^4{\theta }^{\prime }}},$$

$$⟹$$

$$\begin{array}{cc}I(x,y)& =\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{d{\theta }^{\prime }}{\sqrt{(\frac{1}{2}(x+y){)}^2{\cos }^2{\theta }^{\prime }+(\sqrt{xy}{)}^2{\sin }^2{\theta }^{\prime }}}\\ & =I(\frac{1}{2}(x+y),\sqrt{xy}).\end{array}$$

எனவே கிடைப்பது,

$$\begin{array}{cc}I(x,y)& =I(a_1,g_1)=I(a_2,g_2)=\cdots \\ & =I(M(x,y),M(x,y))=\pi /(2M(x,y)).\end{array}$$ $I(z,z)=\pi /(2z)$ என்பதிலிருந்து மேலுள்ள கூற்றிலுள்ள இறுதிச் சமன் கிடைக்கிறது.

$$⟹$$, $$M(x,y)=\pi /(2I(x,y)).$$

பயன்பாடுகள்

π என்ற எண்

காஸ்-இலெஜன்ட்ரே படிமுறைத்தீர்வின்படி:

$\pi =\frac{4M(1,1/\sqrt{2}{)}^2}{1-\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{j+1}{c}_j^2},$

இதில்,

$c_j=\frac{1}{2}(a_{j-1}-g_{j-1}),$ ,$a_0=1;$ $g_0=1/\sqrt{2}$,

$c_j=\frac{c_{j-1}^2}{4a_j},$ என்பதைப் பயன்படுத்தி நுட்பமாகக் கணிக்கலாம்.

முழுமையான நீள்வட்டத் தொகையீடு, K(sinα)

$a_0=1,$ $g_0=\cos \alpha$ என எடுத்துக்கொள்ளக் கிடைக்கும் கூட்டு-பெருக்குச் சரசரி:

$M(1,\cos \alpha )=\frac{\pi }{2K(\sin \alpha )},$

$M(1,\cos \alpha )=\frac{\pi }{2K(\sin \alpha )},$

$⟹K(\sin \alpha )=\frac{\pi }{2M(1,\cos \alpha )}.$

$⟹K(k)=\frac{\pi }{2M(1,\cos \alpha )}.$

$⟹K(k)=\frac{\pi }{2M(1,\sqrt{1-k^2})}.$

இதிலுள்ள வார்ப்புரு:Math ஆனது, முழுமையான முதல்வகை நீள்வட்டத் தொகையீடு, $K(k)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}(1-k^2{\sin }^2\theta {)}^{-1/2}d\theta .$ ஆகும்.

மேற்கோள்கள்

ஆதாரங்கள்

• வார்ப்புரு:Cite journal
• வார்ப்புரு:SpringerEOM
• வார்ப்புரு:Mathworld