சிம்சன் கோடு

ABC முக்கோணத்தின் சுற்று வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளி P. இதன் சிம்சன் கோடு LN (சிவப்பு)

வடிவவியலில், ABC முக்கோணத்தின் சுற்று வட்டத்தின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளி P எனில் அப்புள்ளிக்கு மிக அருகாமையில், AB, AC, BC ஆகிய மூன்று கோடுகளின் மீது அமையும் மூன்று புள்ளிகளும் நேர்கோட்டமைபவையாக இருக்கும். இந்த மூன்று புள்ளிகளின் வழியாகச் செல்லும் கோடு, P புள்ளியின் சிம்சன் கோடு (Simson line) ஆகும். இக்கோடு இசுக்காட்டுலாந்து கணிதவியலாளர் இராபர்ட்டு சிம்சன் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. இருப்பினும், இசுக்காட்டுலாந்து கணிதவியலாளரும் வானிலையாளருமான வில்லியம் வாலசுதான் இக்கருத்துருவை முதன்முதலாக 1799 இல் வெளியிட்டார்.

இதன் மறுதலையும் உண்மையாகும்.

P புள்ளிக்கு மிக அருகில் மூன்று கோடுகளின் மீதமையும் புள்ளிகள் மூன்றும் ஒரே கோட்டிலமைவதோடு, மூன்று கோடுகளில் எந்த இரண்டும் இணையான கோடுகள் இல்லையெனில், அம்மூன்று கோடுகளால் அமையும் முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் மீது புள்ளி P அமையும்.

இருத்தலை நிறுவல்

$L,M,N$ புள்ளிகள் மூன்றும் நேர்கோட்டமைபவை என நிறுவுவதற்கு $\mathrm{\angle }NMP+\mathrm{\angle }PML=180^{\circ }$ எனக் காட்ட வேண்டும்.

நிறுவல்: படத்தில் தரவுகளின் படி, $PCAB$ ஒரு வட்ட நாற்கரம்

1. $\mathrm{\angle }PBA+\mathrm{\angle }ACP=180^{\circ }$ (வட்ட நாற்கரத்தில் எதிர்கோணங்களின் கூடுதல் $180^{\circ }$)
2. $\mathrm{\angle }PBN+\mathrm{\angle }ACP=180^{\circ }$ ($\mathrm{\angle }PBA=\mathrm{\angle }PBN$)
3. $PMNB$ ஒரு வட்ட நாற்கரமாகும். (தேலேசுத் தேற்றம்)
4. $\mathrm{\angle }PBN+\mathrm{\angle }NMP=180^{\circ }$. (வட்ட நாற்கரத்தில் எதிர்கோணங்களின் கூடுதல் $180^{\circ }$)
5. $\mathrm{\angle }NMP=\mathrm{\angle }ACP$. (படி 2, 4)
6. $PLCM$ ஒரு வட்ட நாற்கரம்
7. $\mathrm{\angle }PML=\mathrm{\angle }PCL$ ( உள்வரை கோணத் தேற்றம்
8. $\mathrm{\angle }PCL=180^{\circ }-\mathrm{\angle }ACP$. (மிகைநிரப்பு கோணங்கள்)
9. $\mathrm{\angle }PML=180^{\circ }-\mathrm{\angle }ACP$ (படி 7, 8)
10. $\therefore \mathrm{\angle }NMP+\mathrm{\angle }PML=\mathrm{\angle }ACP+(180^{\circ }-\mathrm{\angle }ACP)=180^{\circ }$

எனவே $L,M,N$ புள்ளிகள் மூன்றும் நேர்கோட்டமைபவை என்பது நிறுவப்படுகிறது.

பண்புகள்

• முக்கோணத்தின் ஒரு உச்சியின் சிம்சன் கோடு, அவ்வுச்சியிலிருந்து முக்கோணத்திற்கு வரையப்படும் குத்துக்கோடாகும். மேலும் அவ்வுச்சியின் எதிரடிப்புள்ளியின் (விட்டவாக்கில் எதிர் புள்ளி) சிம்சன் கோடானது, அந்த உச்சிக்கு எதிர்ப்பக்கமுள்ள முக்கோணத்தின் பக்கமாக இருக்கும்.
• முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் மீதுள்ள இரு புள்ளிகள் P, Q எனில், அவற்றின் சிம்சன் கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணத்தின் அளவு, PQ வில்லின் கோணத்தில் பாதியாக இருக்கும். இவ்விரு புள்ளிகளும் விட்டவாக்கில் எதிரெதிராக இருந்தால் அவற்றின் சிம்சன் கோடுகள் செங்குத்தானவையாகவும் அவை வெட்டும் புள்ளியானது முக்கோணத்தின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் மீதும் இருக்கும்.
• ABC முக்கோணத்தின் [[குத்துக்கோடு (முக்கோணம்)|செங்கோட்டு மையம் H எனில், P இன் சிம்சன் கோடானது PH கோட்டை இருசமக்கூறிடும். அவ்வாறு இருசமக்கூறிடும் புள்ளி ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் மீதமையும்.
• இரு முக்கோணங்கள் ஒரே சுற்றுவட்டமுடையவையாக இருந்தால், P புள்ளியின் இரு சிம்சன் கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணமானது P இன் நிலையைச் சார்ந்திருக்காது.
• குறைந்தது 5 பக்கங்களுடைய எந்தவொரு குவிவு பல்கோணத்திற்கும் சிம்சன் கோடு கிடையாது.

சிக்கலெண் தளத்தில்

முக்கோணத்தை சிக்கலெண் தளத்தில் எடுத்துக்கொள்ள, அலகு சுற்றுவட்டம் கொண்ட ABC முக்கோணத்தின் உச்சிகளின் சிக்கலெண் ஆயதொலைகள் a, b, c; சுற்றுவட்டத்தின் மீதுள்ள ஒரு P புள்ளியின் ஆயதொலைவு p எனில் இப்புள்ளியின் சிம்சன் கோடானது கீழுள்ள சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் புள்ளிகளாலான (z) கணமாகும்:வார்ப்புரு:Rp

$2abc\overline{z}-2pz+p^2+(a+b+c)p-(bc+ca+ab)-\frac{abc}{p}=0,$

$\overline{z},$ என்பது $z$ இன் இணைச் சிக்கலெண்.

வெளியிணைப்புகள்

• Simson Line at cut-the-knot.org
• F. M. Jackson and வார்ப்புரு:Mathworld
• A generalization of Neuberg's theorem and the Simson-Wallace line at Dynamic Geometry Sketches, an interactive dynamic geometry sketch.