சுழற்சி மேற்பரப்பு

வார்ப்புரு:Math வளைகோட்டின் ஒரு பகுதியை வார்ப்புரு:Mvar-அச்சைப் பொறுத்து சுழற்றப்படும்போது உருவாகும் மேற்பரப்பு.

யூக்ளிடிய வெளியில் ஒரு அச்சைப் பொறுத்து, ஒரு வளைகோட்டைச் சுழற்றும்போது உருவாகும் மேற்பரப்பானது சுழற்சி மேற்பரப்பு (surface of revolution) எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டாக,

• சுழற்சி அச்சுக்கு இணையாகவுள்ள ஒரு நேர்கோட்டினைச் சுழற்றுவதால் உருளை உருவாகிறது.
• சுழற்சி அச்சுக்கு இணையற்ற நேர்கோட்டினை சுழற்றுவதால் கூம்புவெட்டுகள் உருவாகின்றன.
• ஒரு வட்டத்தை அதன் ஏதாவது ஒரு விட்டத்தைப் பொறுத்து சுழற்றும்போது கோளம் உருவாகிறது.

பண்புகள்

• ஒரு சுழற்சி மேற்பரப்பை, அச்சின் வழியாகச் செல்லும் தளங்களால் வெட்டும்போது கிடைக்கும் வெட்டுமுகங்கள் நெடுவரை வெட்டுகள் (meridional sections) என அழைக்கப்படுகின்றன
• சுழற்சி மேற்பரப்பை, அச்சுக்குச் செங்குத்தான தளங்களால் வெட்டும்போது கிடைக்கும் வெட்டுமுகங்கள் வட்டங்களாக இருக்கும்.
• சில சிறப்புவகை அதிபரவளைவுருக்களும் பரவளையவுருக்களும் சுழற்சி மேற்பரப்புகளாக அமைகின்றன.

பரப்பளவு வாய்பாடு

சுழற்றப்படும் வளைகோட்டின்

1. துணையலகுச் சமன்பாடுகள்: வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math, (வார்ப்புரு:Mvar இன் மதிப்பு வார்ப்புரு:Math இடைவெளியில் அமையும்);
2. சுழற்சி அச்சு: வார்ப்புரு:Mvar-அச்சு
3. சுழற்சி மேற்பரப்பின் பரப்பளவு (வார்ப்புரு:Mvar) எனில்:

$A_y=2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}x(t)\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt,$

இவ்வாய்பாட்டில் வார்ப்புரு:Mvar, வார்ப்புரு:Mvar ஆகிய இரு இறுதிப்புள்ளிகளுக்கு இடையே எவ்விடத்திலும் வார்ப்புரு:Math ஆனது எதிர்மமாக இருக்காது என எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது. இவ்வாய்பாடு, பாப்பசின் திணிவுமையத் தேற்றத்தின் நுண்கணிதச் சமானமாக உள்ளது.

பித்தகோரசு தேற்றத்திலிருந்து வரும் வாய்பாட்டின் பகுதி $\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}$ ஆனது வளைகோட்டின் வில்லின் ஒரு சிறுபகுதியைக் குறிக்கிறது. மேலும் வார்ப்புரு:Math ஆனது இச்சிறுபகுதியின் பாதை ஆகும்.

இதேபோல சுழற்சி அச்சு வார்ப்புரு:Mvar-அச்சாக இருந்து வார்ப்புரு:Math ஒருபோதும் எதிர்மம் இல்லையென்றும் இருந்தால், பரப்பளவின் வாய்பாடு:

$A_x=2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}y(t)\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt.$

வளைகோடானது வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math (வார்ப்புரு:Math) என்ற சார்பாகத் தரப்பட்டால், மேலுள்ள வாய்பாடுகளிலிருந்து பெறப்படும் பரப்பளவின் வாய்பாடு:

• சுழற்சி அச்சாக வார்ப்புரு:Mvar-அச்சு இருக்கும்போது:

$A_x=2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}y\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}dx=2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}dx$

• சுழற்சி அச்சாக y-அச்சு இருக்கும்போது:

$A_y=2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}x\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}dx$

எடுத்துக்காட்டாக,

வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math, (வார்ப்புரு:Mvar இன் மதிப்பு வார்ப்புரு:Math இல் அமையும்) என்ற வளைகோட்டின் சுழற்சியால் ஓரலகு ஆரங்கொண்ட கோள மேற்பரப்பு, உருவாக்கப்படுகிறது. அதன் பரப்பளவு:

$\begin{array}{cc}A& =2\pi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin (t)\sqrt{(\cos (t){)}^2+(\sin (t){)}^2}dt\\ & =2\pi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin (t)dt\\ & =4\pi .\end{array}$

கோளத்தின் ஆரம் வார்ப்புரு:Mvar, சமன்பாடு வார்ப்புரு:Math, சுழற்சி அச்சு வார்ப்புரு:Mvar-அச்சு எனில் பரப்பளவு:

$\begin{array}{cc}A& =2\pi \underset{-r}{\overset{r}{\int }}\sqrt{r^2-x^2}\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}dx\\ & =2\pi r\underset{-r}{\overset{r}{\int }}\sqrt{r^2-x^2}\sqrt{\frac{1}{r^2-x^2}}dx\\ & =2\pi r\underset{-r}{\overset{r}{\int }}dx\\ & =4\pi r^2\end{array}$

சுருள்வளையங்கள்

சதுரத்தின் சுழற்சியால் உருவான சுருள்வளையம்

ஒரு சுழற்சி மேற்பரப்பின் நடுவில் துளையும், சுழற்சி அச்சு அம்மேற்பரைப்பைச் சந்திக்காமலும் இருந்தால் அச் சுழற்சி மேற்பரப்பு சுருள்வளையம் என அழைக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக,

• ஒரு செவ்வகத்தை அதன் ஒரு விளிம்புக்கு இணையான மற்றொரு கோட்டை அச்சாகக் கொண்டு சுழற்றக்கிடைக்கும் சுழற்சி மேற்பரப்பானது, செவ்வக வெட்டுமுகங்கொண்ட உள்ளீடற்ற வளையமாகக் கிடைக்கும்.
• சுழற்றப்படும் வடிவம் சதுரமாக இருப்பின் அச்சுருள்வளையத்தின் வெட்டுமுகம் சதுரமாக இருக்கும்.

இதேபோல சுழற்றப்படுவது வட்டமாக இருந்தால், உருவாகும் சுழற்சி மேற்பரப்பு உள்ளீடற்ற, வட்ட வெட்டுமுகங்கொண்ட வளையமாக இருக்கும். இது உருள்வளையம் என அழைக்கப்படுகிறது.