பல்லுறுப்புத் தேற்றம்

கணிதத்தில் பல்லுறுப்புத் தேற்றம் (multinomial theorem) என்பது ஒரு கூட்டுத்தொகையின் அடுக்கினை அக்கூட்டுத்தொகையிலுள்ள உறுப்புகளின் அடுக்குகளின் மூலம் எவ்வாறு விரித்தெழுதலாம் என விளக்குகிறது. இத்தேற்றம் ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும்.

தேற்றம்

m ஒரு நேர்ம முழு எண்; n ஒரு எதிர்மமல்லா முழு எண் எனில்:

$(x_1+x_2+\cdots +x_m{)}^n=\sum _{k_1+k_2+\cdots +k_m=n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_2,\dots ,k_m})\prod _{t=1}^m{x}_t^{k_t},$

இதில் $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_2,\dots ,k_m})=\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_m!}$ ஒரு "பல்லுறுப்புக் கெழு" அல்லது "பல்லுறுப்புக் குணகம்" ஆகும். இந்த விரிவின் ஒவ்வொரு உறுப்பிலுமுள்ள x_i இன் அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகை n ஆக இருக்கும். மேலும் ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைப் போலவே இத்தேற்றத்திலும் x⁰ என்ற வடிவிலுள்ளவற்றின் மதிப்பு 1 ஆக எடுத்துக்கொள்ளப்படும் (x = 0 ஆக இருந்தாலும் கூட).

m = 2 ஆக இருக்கும் போது பல்லுறுப்புத் தேற்றமானது ஈருறுப்புத் தேற்றமாகிவிடும்.

எடுத்துக்காட்டு

மூவுறுப்புக்கோவை a + b + c இன் மூன்றடுக்கின் விரிவு:

$(a+b+c{)}^3=a^3+b^3+c^3+3a^{2}b+3a^{2}c+3b^{2}a+3b^{2}c+3c^{2}a+3c^{2}b+6abc.$

$(a+b+c{)}^3$ இன் விரிவை கூட்டலின் மீதான பங்கீட்டுப் பண்பைப் பயன்படுத்திக் காணமுடியும். என்றாலும் பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி விரிவுபடுத்தல் எளிதாக இருக்கும். ஏனென்றால் இத்தேற்றத்தின்படி பல்லுறுப்புக் கெழுக்களைக் கணக்கிடல் எளிதானது. எடுத்துக்காட்டாக:

$a^2{b}^0{c}^1$ இன் கெழு $(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2,0,1})=\frac{3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!}=\frac{6}{2\cdot 1\cdot 1}=3.$

$a^1{b}^1{c}^1$ இன் கெழு $(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1,1,1})=\frac{3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}=\frac{6}{1\cdot 1\cdot 1}=6.$

மாற்று வடிவம்

பல்லடுக்குகளைப் பயன்படுத்தி இத்தேற்றத்தின் கூற்றைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

$(x_1+\cdots +x_m{)}^n=\sum _{|\alpha |=n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\alpha })x^{\alpha }$

இதில்,

$\alpha =({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m)$

மற்றும்

$x^{\alpha }=x_1^{{\alpha }_1}{x}_2^{{\alpha }_2}\cdots x_m^{{\alpha }_m}$

நிறுவல்

ஈருறுப்புத் தேற்றம் மற்றும் m மீதானக் கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையைப் பயன்படுத்தி பல்லுறுப்புத் தேற்றம் இங்கு நிறுவப்படுகிறது.

கணிதத் தொகுத்தலறிதல் முறையின் படிநிலைகள்:

• படிநிலை 1

m = 1, எனில் பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தின் இருபுறமும் x₁ⁿ என சமமாக உள்ளன.

• படிநிலை 2

m இற்குப் பல்லுறுப்புத் தேற்றம் உண்மையெனக் கொண்டு m + 1 மதிப்பிற்கும் தேற்றம் உண்மையாகிறது என கீழே நிறுவப்படுகிறது:

$\begin{array}{cc}& (x_1+x_2+\cdots +x_m+x_{m+1}{)}^n=(x_1+x_2+\cdots +(x_m+x_{m+1}){)}^n\\ =& \sum _{k_1+k_2+\cdots +k_{m-1}+K=n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_2,\dots ,k_{m-1},K})x_1^{k_1}{x}_2^{k_2}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}(x_m+x_{m+1}{)}^K\end{array}$

வலப்புறமுள்ள கடைசி காரணியை ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி விரிக்க:

$=\sum _{k_1+k_2+\cdots +k_{m-1}+K=n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_2,\dots ,k_{m-1},K})x_1^{k_1}{x}_2^{k_2}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}\sum _{k_m+k_{m+1}=K}(\genfrac{}{}{0ex}{}{K}{k_m,k_{m+1}})x_m^{k_m}{x}_{m+1}^{k_{m+1}}$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_2,\dots ,k_{m-1},K})(\genfrac{}{}{0ex}{}{K}{k_m,k_{m+1}})=\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_{m-1}!K!}\frac{K!}{k_m!k_{m+1}!}=\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_{m+1}!}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_2,\dots ,k_{m-1},k_m,k_{m+1}}),$ என்பதால்

$(x_1+x_2+\cdots +x_m+x_{m+1}{)}^n=\sum _{k_1+k_2+\cdots +k_{m-1}+k_m+k_{m+1}=n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_2,\dots ,k_{m-1},k_m,k_{m+1}})x_1^{k_1}{x}_2^{k_2}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}{x}_m^{k_m}{x}_{m+1}^{k_{m+1}}$

எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையின் இரண்டாம் படிநிலையும் நிறுவப்பட்டு பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தின் நிறுவல் நிறைவுறுகிறது.

பல்லுறுப்புக் கெழுக்கள்

பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தின் வலப்பக்க விரிவில் இடம்பெறும் உறுப்புக்களின் எண் கெழுக்கள் :$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_2,\dots ,k_m})$ "பல்லுறுப்புக் கெழுக்கள்" அல்லது "பல்லுறுப்புக் குணகங்கள்" என அழைக்கப்படுகின்றன. இவற்றின் வாய்பாடு:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_2,\dots ,k_m})=\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_m!}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{k_1}{k_1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{k_1+k_2}{k_2})\cdots (\genfrac{}{}{0ex}{}{k_1+k_2+\cdots +k_m}{k_m})$

பல்லுறுப்புக் கெழுக்களின் கூட்டுத்தொகை: பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தின் விரிவிலுள்ள எல்லா உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல்:

$\sum _{k_1+k_2+\cdots +k_m=n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_2,\dots ,k_m})=m^n.$

விளக்கம்:

பல்லுறுப்புத் தேற்றம்:

$\sum _{k_1+k_2+\cdots +k_m=n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_2,\dots ,k_m})x_1^{k_1}{x}_2^{k_2}\cdots x_m^{k_m}=(x_1+x_2+\cdots +x_m{)}^n$

இதில் $x_i=1,(\mathrm{\forall }i)$ எனப் பதிலிட:

$\sum _{k_1+k_2+\cdots +k_m=n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_2,\dots ,k_m})=m^n.$

சேர்வியல் விளக்கம்:

பல்லுறுப்புக் கெழுக்களின் மதிப்பு வெவ்வேறான n பொருட்களை, வெவ்வேறான m பெட்டிகளில் போடும் வழிகளின் எண்ணிக்கைக்குச் சமமாகும். இதில், முதல் பெட்டியில் k₁ பொருட்களும் இரண்டாவது பெட்டியில் k₂ பொருட்களும் மூன்றாவது பெட்டியில் k₃ பொருட்கள் என்று பொருட்கள் பெட்டிகளில் போடப்பட வேண்டும்