மடக்கை வகையிடல்

நுண்கணிதத்தில் மடக்கை வகையிடல் (logarithmic differentiation) அல்லது மடக்கை கண்டு வகையிடல் (differentiation by taking logarithms) என்பது ஒரு சார்பினை வகையிடும்போது அச்சார்பின் மடக்கை வகைக்கெழுவைப் பயன்படுத்தி வகையிடும் முறையாகும்.

f எனும் சார்பின் மடக்கை வகைக்கெழு:

$(\ln f{)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }}{f}⟹f^{\prime }=f\cdot (\ln f{)}^{\prime }.$

ஒரு சார்பினை நேரிடையாக வகையிடுவதைவிட அதன் மடக்கையை வகையிடுவது எளிதாக இருக்கும் சூழ்நிலைகளில் இம்முறையான வகையிடல் பயன்படுத்தப்படுகிறது. பொதுவாக பல உறுப்புகளின் பெருக்கற்பலனாக அமையும் சார்புகளுக்கு மடக்கை வகையிடல் பொருந்தும். ஏனெனில் பெருக்கற்பலனாகவுள்ள சார்புக்கு மடக்கை காணும்போது அது அப்பெருக்கற்பலனிலுள்ள உறுப்புகளின் மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகையாக மாறுவதால் வகையிடல் எளிதானதாக மாறுகிறது. சார்புகள் அல்லது மாறிகளின் அடுக்கேற்றமாகவுள்ள சார்புகளுக்கும் இது பொருந்தும். இம்முறையில், பெருக்கற்பலனை கூட்டலாகவும், வகுத்தலை கழித்தலாகவும் மாற்றுவதற்கு வகையிடலின் சங்கிலி விதியும் மடக்கையின் பண்புகளும் (குறிப்பாக இயல் மடக்கை மற்றும் e அடிமான மடக்கை) பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பூச்சியமற்றவையாக இருக்கும் வகையிடத்தக்கச் சார்புகளுக்கு இம்முறையை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ பயன்படுத்தலாம்.

விளக்கம்

$y=f(x)$ என்ற சார்புக்கு மடக்கை வகையிடல் முறையில் வகைக்கெழு காண்பதற்கு, முதலில் இச்சார்பின் இருபுறமும் மடக்கை (இயல் மடக்கை அல்லது e அடிமான மற்றும் தனிமதிப்பு) காண வேண்டும்:

$\ln |y|=\ln |f(x)|.$

இதனை வகையிட:

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}.$

$\frac{dy}{dx}=y\times \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=f^{\prime }(x).$

சிக்கலான சார்புகளுக்கும் அவற்றின் மடக்கைகள் எளிமையான வடிவுக்கு மாறுவதால் மடக்கை வகையிடல் முறை வகையிடலை எளிதாக்குகிறது. இவ்வாறு எளிமைப்படுத்த உதவும் முக்கியமான மடக்கை விதிகள்:

$\ln (ab)=\ln (a)+\ln (b),\ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln (a)-\ln (b),\ln (a^n)=n\ln (a).$

பொது வகை

$f(x)=\prod _i(f_i(x){)}^{{\alpha }_i(x)}.$

இருபுறமும் இயல் மடக்கை காண:

$\ln (f(x))=\sum _i{\alpha }_i(x)\cdot \ln (f_i(x)),$

இருபுறமும் வகையிட:

$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\sum _i[{{\alpha }_i}^{\prime }(x)\cdot \ln (f_i(x))+{\alpha }_i(x)\cdot \frac{{f_i}^{\prime }(x)}{f_i(x)}].$

$f^{\prime }(x)=\stackrel{f(x)}{\overbrace{\prod _i(f_i(x){)}^{{\alpha }_i(x)}}}\times \stackrel{[\ln (f(x)){]}^{\prime }}{\overbrace{\sum _i\{{{\alpha }_i}^{\prime }(x)\cdot \ln (f_i(x))+{\alpha }_i(x)\cdot \frac{{f_i}^{\prime }(x)}{f_i(x)}\}}}.$

உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்கள்

$\frac{d^n}{d{x}^n}\ln f(x)=\sum _{m_1+2m_2+\cdots +n{m}_n=n}\frac{n!}{m_1!m_2!\cdots m_n!}\cdot \frac{(-1{)}^{m_1+\cdots +m_n-1}(m_1+\cdots +m_n-1)!}{f(x{)}^{m_1+\cdots +m_n}}\cdot \prod _{j=1}^n{\left(\frac{f^{(j)}(x)}{j!}\right)}^{m_j}.$

இதிலிருந்து பெறப்படும் முதல் நான்கு வரிசை வகைக்கெழுக்கள்:

$\frac{d^2}{d{x}^2}\ln f(x)=\frac{f^{″}(x)}{f(x)}-{\left(\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\right)}^2$

$\frac{d^3}{d{x}^3}\ln f(x)=\frac{f^{‴}(x)}{f(x)}-3\frac{f^{\prime }(x)f^{″}(x)}{f(x{)}^2}+2{\left(\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\right)}^3$

$\frac{d^4}{d{x}^4}\ln f(x)=\frac{f^{⁗}(x)}{f(x)}-4\frac{f^{\prime }(x)f^{‴}(x)}{f(x{)}^2}-3{\left(\frac{f^{″}(x)}{f(x)}\right)}^2+12\frac{f^{\prime }(x{)}^2{f}^{″}(x)}{f(x{)}^3}-6{\left(\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\right)}^4$

பயன்பாடுகள்

பெருக்கற்பலன்கள்

வகையிட வேண்டிய சார்பு இரு சார்புகளின் பெருக்கற்பலனாக இருந்தால்:

$f(x)=g(x)h(x)$

இருபுறமும் இயல்மடக்கை காண பெருக்கற்பலன் வடிவம் சார்புகளின் மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகையாக மாறுகிறது:

$\ln (f(x))=\ln (g(x)h(x))=\ln (g(x))+\ln (h(x)).$

வகையிடலின் சங்கிலி விதி மற்றும் வகையிடலின் கூட்டல் விதியைப் பயன்படுத்தி வகையிட்டு சுருக்கக் கிடைப்பது:

$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}+\frac{h^{\prime }(x)}{h(x)},$

$f^{\prime }(x)=f(x)\times \{\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}+\frac{h^{\prime }(x)}{h(x)}\}=g(x)h(x)\times \{\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}+\frac{h^{\prime }(x)}{h(x)}\}.$

ஈவுகள்

வகையிட வேண்டிய சார்பு இரு சார்புகளின் ஈவாக இருந்தால்:

$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$

இருபுறமும் இயல்மடக்கை காண ஈவு வடிவம் சார்புகளின் மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகையாக மாறுகிறது:

$\ln (f(x))=\ln \left(\frac{g(x)}{h(x)}\right)=\ln (g(x))-\ln (h(x))$

வகையிடலின் சங்கிலி விதி மற்றும் வகையிடலின் கூட்டல் விதியைப் பயன்படுத்தி வகையிட்டுச் சுருக்கக் கிடைப்பது:

$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}-\frac{h^{\prime }(x)}{h(x)},$

$f^{\prime }(x)=f(x)\times \{\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}-\frac{h^{\prime }(x)}{h(x)}\}=\frac{g(x)}{h(x)}\times \{\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}-\frac{h^{\prime }(x)}{h(x)}\}.$

மேலுள்ள முடிவின் வலப்புறம் பொது வகுத்தி எடுத்து சுருக்கினால் $f(x)$ சார்பினை நேரிடையாக வகையிடலின் வகுத்தல் விதி மூலம் வகையிடக் கிடைக்கும் முடிவு கிடைப்பதைக் காணலாம்:

$f^{\prime }(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\times \left\{\frac{h(x)g^{\prime }(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{g(x)h(x)}\right\}.$

$f^{\prime }(x)=\left\{\frac{h(x)g^{\prime }(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{({h(x))}^2}\right\}.$

கூட்டடுக்குகள்

$f(x)=g(x{)}^{h(x)}$

இருபுறமும் இயல் மடக்கை காண அடுக்கேற்றமாகவுள்ள சார்பு, பெருக்கற்பலன் வடிவுக்கு மாறுகிறது:

$\ln (f(x))=\ln (g(x{)}^{h(x)})=h(x)\ln (g(x))$

வகையிடலின் சங்கிலி விதி மற்றும் வகையிடலின் பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்தி வகையிட்டு சுருக்கக் கிடைப்பது

$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=h^{\prime }(x)\ln (g(x))+h(x)\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)},$

$f^{\prime }(x)=f(x)\times \{h^{\prime }(x)\ln (g(x))+h(x)\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}\}=g(x{)}^{h(x)}\times \{h^{\prime }(x)\ln (g(x))+h(x)\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}\}.$