வரிசைமாற்ற அணி

கணிதத்தில் வரிசைமாற்ற அணி (permutation matrix) என்பது ஒவ்வொரு நிரை மற்றும் நிரலிலும் ஒரேயொரு உறுப்பு 1 ஆகவும் ஏனைய உறுப்புகள் எல்லாம் 0 ஆகவும் கொண்ட சதுர இரும அணியாகும் (binary matrix). இத்தகைய அணி (வார்ப்புரு:Mvar) ஒவ்வொன்றும் வார்ப்புரு:Mvar உறுப்புகளின் வரிசைமாற்றத்தைக் குறிக்கும். மேலும் மற்றொரு அணி வார்ப்புரு:Mvar உடன் பெருக்கப்படும்போது முன்பெருக்கத்தில் (வார்ப்புரு:Mvar), வார்ப்புரு:Mvar அணியின் நிரைகளின் வரிசைமாற்றமாகவும் பின்பெருக்கத்தில் (வார்ப்புரு:Mvar), வார்ப்புரு:Mvar அணியின் நிரல்களின் வரிசைமாற்றமாகவும் அமையும்.

வரையறை

m உறுப்புகளின் வரிசைமாற்றம் π என எடுத்துக்கொண்டால்:

$\pi :\{1,\dots ,m\}\to \{1,\dots ,m\}$

$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \cdots & m\\ \pi (1)& \pi (2)& \cdots & \pi (m)\end{array}\right)$

வரிசைமாற்றத்தை, ஒரு வரிசைமாற்ற அணியுடன் இருவழிகளில் இணைக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக m × m முற்றொருமை அணி, வார்ப்புரு:Math இன் நிரல்களை வார்ப்புரு:Pi இன் படி வரிசைமாற்றம் செய்யலாம் அல்லது நிரைகளை வார்ப்புரு:Pi இன் படி வரிசைமாற்றம் செய்யலாம்.

வார்ப்புரு:Math இன் நிரல்களை வரிசைமாற்றம் செய்யக்கிடைக்கும் வரிசைமாற்ற அணி ஒரு m × m அணியாக இருக்கும். இந்த அணியின் குறியீடு P_{வார்ப்புரு:Pi} = (p_ij) எனில்:

ஒவ்வொரு i க்கும், j = வார்ப்புரு:Pi(i) எனில் p_ij = 1 ஆகவும், அவ்வாறு இல்லாவிட்டால் p_ij = 0 ஆகவும் இருக்கும்.

அதாவது i ஆவது நிரையில் வார்ப்புரு:Pi(i) நிரலில் உள்ள உறுப்பு மட்டும் 1 ஆகவும் மீதமுள்ள உறுப்புகள் எல்லாம் 0 ஆகவும் இருக்கும்.

எனவே வரிசைமாற்ற அணி P_{வார்ப்புரு:Pi} கீழுள்ளவாறு அமைகிறது:

$P_{\pi }=\left[\begin{array}{c}{𝐞}_{\pi (1)}\\ {𝐞}_{\pi (2)}\\ ⋮\\ {𝐞}_{\pi (m)}\end{array}\right],$

இதில் செந்தர அடுக்களத் திசையனான ${𝐞}_j$ என்பது m நீளமுள்ள ஒரு நிரை திசையனாகும். மேலும் அதன் j ஆவது இடத்தில் 1 உம் மற்ற இடங்களில் 0 உம் கொண்டிருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு:

$\pi =\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 1& 4& 2& 5& 3\end{array}\right),$ என்ற வரிசைமாற்றத்துக்குரிய வரிசைமாற்ற அணி:

$P_{\pi }=\left[\begin{array}{c}{𝐞}_{\pi (1)}\\ {𝐞}_{\pi (2)}\\ {𝐞}_{\pi (3)}\\ {𝐞}_{\pi (4)}\\ {𝐞}_{\pi (5)}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{𝐞}_1\\ {𝐞}_4\\ {𝐞}_2\\ {𝐞}_5\\ {𝐞}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0\end{array}\right].$

முற்றொருமை அணி வார்ப்புரு:Math இன் j ஆவது நிரலானது P_{வார்ப்புரு:Pi} அணியின் வார்ப்புரு:Pi(j) ஆவது நிரலாக அமைவதைக் காணலாம்.

பண்புகள்

(கட்டுரையின் இப்பிரிவு முழுவதும் வரிசைமாற்ற அணியின் நிரல் உருவகிப்புப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. சில இடங்களில் நிரை உருவகிப்பு பயன்படுத்தப்படும்போது அது குறிப்பிடப்படும்)

• $P_{\pi }$ ஆல் நிரல் திசையன் g ஐப் முன்பெருக்கும்போது கிடைக்கும் அத்திசையனின் நிரைகளின் வரிசைமாற்றம்:

$P_{\pi }𝐠=\left[\begin{array}{c}{𝐞}_{\pi (1)}\\ {𝐞}_{\pi (2)}\\ ⋮\\ {𝐞}_{\pi (n)}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{g}_1\\ g_2\\ ⋮\\ g_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{g}_{\pi (1)}\\ g_{\pi (2)}\\ ⋮\\ g_{\pi (n)}\end{array}\right].$

மேலுள்ள முடிவினை மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துவதன்மூலம் வார்ப்புரு:Mvar ஒரு பொருத்தமான வரிசையுடைய அணியாக இருக்கும்போது, பெருக்கல் அணியான $P_{\pi }M$ ஆனது வார்ப்புரு:Mvar இன் நிரைகளின் வரிசைமாற்றமாக அமைவதைக் காணலாம்.

எனினும் ஒவ்வொரு வார்ப்புரு:Mvar க்கும்,

$P_{\pi }{𝐞}_k^{𝖳}={𝐞}_{{\pi }^{-1}(k)}^{𝖳}$ என்பதால் நிரைகளின் வரிமாற்றம் வார்ப்புரு:Pi⁻¹ ஆகும். (வார்ப்புரு:Mvar அணியின் இடமாற்று அணி $M^{𝖳}$)

• வரிசைமாற்ற அணிகளெல்லாம் செங்குத்து அணிகள் (i.e., $P_{\pi }{P}_{\pi }^{𝖳}=I$) என்பதால் அவற்றுக்கு நேர்மாறு அணிகள் உண்டு. அந்நேர்மாறு அணியைக் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்:

$P_{\pi }^{-1}=P_{{\pi }^{-1}}=P_{\pi }^{𝖳}.$

• ஒரு நிரை திசையன் h ஐ $P_{\pi }$ ஆல் பெருக்குவதால் அந்நிரை திசையனின் நிரல்களின் வரிசைமாற்றம்:

$𝐡P_{\pi }=\left[\begin{array}{c}{h}_1{h}_2\dots h_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{𝐞}_{\pi (1)}\\ {𝐞}_{\pi (2)}\\ ⋮\\ {𝐞}_{\pi (n)}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{h}_{{\pi }^{-1}(1)}{h}_{{\pi }^{-1}(2)}\dots h_{{\pi }^{-1}(n)}\end{array}\right]$

மேலுள்ள முடிவினை மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துவதன்மூலம் வார்ப்புரு:Mvar அணியை வரிசைமாற்ற அணியான வார்ப்புரு:Math ஆல் பின்பெருக்கம் செய்தால் வார்ப்புரு:Math ஆனது வார்ப்புரு:Mvar இன் நிரல்களின் வரிசைமாற்றமாக அமைவதை காணலாம். மேலும்,

${𝐞}_k{P}_{\pi }={𝐞}_{\pi (k)}.$

• வார்ப்புரு:Math உறுப்புகளின் இரு வரிசைமாற்றங்கள் வார்ப்புரு:Pi, வார்ப்புரு:Math எனில் நிரல் திசையன் g மீது செயற்படும் அவற்றின் வரிசைமாற்ற அணிகள் வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math இரண்டின் தொகுப்பு:

$P_{\sigma }{P}_{\pi }𝐠=P_{\pi \circ \sigma }𝐠.$

• வார்ப்புரு:Math உறுப்புகளின் இரு வரிசைமாற்றங்கள் வார்ப்புரு:Pi, வார்ப்புரு:Math எனில் நிரை திசையன் h மீது செயற்படும் அவற்றின் வரிசைமாற்ற அணிகள் வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math இரண்டின் தொகுப்பு:

$𝐡P_{\sigma }{P}_{\pi }=𝐡P_{\pi \circ \sigma }.$

$\pi \circ \sigma (k)=\pi (\sigma (k)).$

• வார்ப்புரு:Pi வரிசைமாற்றத்துக்குரிய வரிசைமாற்ற அணியின் நிரை உருவகிப்பு $Q_{\pi }$ எனில், $Q_{\pi }=P_{\pi }^{𝖳}=P_{{\pi }^{-1}}.$ என்பதால் இந்த உருவகிப்புக்கான பண்புகளை வரிசைமாற்ற அணியின் நிரல் உருவகிப்புக்குரிய பண்புகளிலிருந்து பெறலாம்.

குறிப்பாக,

$Q_{\pi }{𝐞}_k^{𝖳}=P_{{\pi }^{-1}}{𝐞}_k^{𝖳}={𝐞}_{({\pi }^{-1}{)}^{-1}(k)}^{𝖳}={𝐞}_{\pi (k)}^{𝖳}.$

இதிலிருந்து,

$Q_{\sigma }{Q}_{\pi }𝐠=Q_{\sigma \circ \pi }𝐠.$

இதேபோல,

$𝐡Q_{\sigma }{Q}_{\pi }=𝐡Q_{\sigma \circ \pi }.$

அணிக் குலம்

(1) என்பது முற்றொருமை வரிசைமாற்றம் எனில் வார்ப்புரு:Math ஆனது முற்றொருமை அணியாகும்.

{1,2,...,வார்ப்புரு:Math} மீதான சமச்சீர் குலம் அல்லது வரிசைமாற்றுக் குலம் என்க. மொத்தம் வார்ப்புரு:Mathவார்ப்புரு:Math! வரிசைமாற்றங்கள் இருப்பதால், வார்ப்புரு:Math! வரிசைமாற்ற அணிகள் இருக்கும். இந்த வார்ப்புரு:Math வரிசைமாற்ற அணிகள், அணிப்பெருக்கலின் கீழ் முற்றொருமை அணியை முற்றொருமை உறுப்பாகக் கொண்ட குலமாக அமையும்.

மேற்கோள்கள்

• வார்ப்புரு:Cite book
• வார்ப்புரு:Citation