வளைவு ஆரம் (கணிதம்)

வளைவு ஆரம் மற்றம் வளைவு வட்டம்

வடிவவியலில், ஒரு வளைவரையின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியிடத்து அவ்வளைவரையின் வளைவு ஆரம் (radius of curvature) R என்பது, அப்புள்ளியில் கிட்டத்தட்ட தரப்பட்ட வளைவரையை ஒத்தமையும் வட்டவில்லின் ஆரமாகும். வளைவு ஆரத்தின் மதிப்பு வளைவின் மதிப்பின் தலைகீழியாக இருக்கும்.

தளத்திலமைந்த வளைவரையொன்றின் வளைவு ஆரம்:

$R=\frac{ds}{d\phi }=\frac{1}{\kappa },$

இங்கு s என்பது வளைவரை மீதுள்ள ஒரு நிலையான புள்ளியிலிருந்து காணப்படும் வில்லின் நீளம்; φ என்பது தொடுகோணம்; $\kappa$ வளைவு.

• வளைவரையின் சமன்பாடு y(x) என கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமையில் தரப்பட்டால் வளைவு ஆரம் (வளைவரையின் சமன்பாடு இருமுறை வகையிடத்தக்கதாக இருக்கும்பட்சத்தில்):

$R=\left|\frac{{(1+y{\text{'}}^2)}^{3/2}}{y^{″}}\right|,\text{where}{y}^{\prime }=\frac{dy}{dx},y^{″}=\frac{d^{2}y}{d{x}^2},$

| z | என்பது z இன் தனி மதிப்பைக் குறிக்கும்.

வளைவரையின் சமன்பாடு x(t) and y(t), என துணையலகுகளில் தரப்பட்டால் வளைவு ஆரம்:

$R=\left|\frac{ds}{d\phi }\right|=\left|\frac{({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2{)}^{3/2}}{\dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x}}\right|,\text{where}\dot{x}=\frac{dx}{dt},\ddot{x}=\frac{d^{2}x}{d{t}^2},\dot{y}=\frac{dy}{dt},\ddot{y}=\frac{d^{2}y}{d{t}^2}.$

எடுத்துக்காட்டுகள்

அரைவட்டங்களும் வட்டங்கள்

மேல் அரைத்தளத்தில் அமையும் a அலகு ஆரமுள்ள அரைவட்டத்தின் வளைவு ஆரம்:

$y=\sqrt{a^2-x^2},y^{\prime }=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}},y^{″}=\frac{-a^2}{(a^2-x^2{)}^{3/2}},R=|-a|=a.$

அரைத்தளத்தில் அமையும் a அலகு ஆரமுள்ள அரைவட்டத்தின் வளைவு ஆரம்:

$y=-\sqrt{a^2-x^2},R=|a|=a.$

a அலகு ஆரமுள்ள வட்டத்தின் வளைவு ஆரம் a.

நீள்வட்டங்கள்

நீள்வட்டம் (சிவப்பு) மற்றும் அதன் மலரி (நீலம்). மிக அதிக மற்றும் மிகக் குறைந்த வளைவு ஆரம் கொண்ட புள்ளிகளாக அமையும் நீள்வட்டத்தின் முனைகள்.

ஒரு நீள்வட்டத்தின் நெட்டச்சின் நீளம் 2a  ; குற்றச்சின் நீளம் 2b எனில் நெட்டச்சின் முனைகள் மிகக்குறைந்த வளைவு ஆரம் கொண்ட புள்ளிகளாகவும் $(R=\frac{b^2}{a})$, குற்றச்சின் முனைகள் மிகஅதிக வளைவு ஆரம் கொண்ட புள்ளிகளாகவும் $(R=\frac{a^2}{b})$ அமைகின்றன.

மேலும் பார்க்க

• வளைவு ஆரம்

மேற்கோள்கள்

• வார்ப்புரு:Cite book