விகிதமுறு சார்பு

கணிதத்தில், விகிதமுறு சார்பு (rational function) என்பது, பகுதியாகவும் தொகுதியாகவும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளைக் கொண்ட இயற்கணிதப் பின்னத்தால் வரையறுக்கப்படும் சார்பாகும். பகுதி, தொகுதியாக அமையும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் கெழுக்கள் விகிதமுறு எண்களாகத்தான் இருக்க வேண்டும் என்பதில்லை; அவை ஏதாவதுவொரு களத்தின் (K) உறுப்புகளாக இருக்கலாம். எனவே விகிதமுறு சார்பானது ஒரு களம் K இன் மீது வரையறுக்கப்பட்ட சார்பாகும். பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மாறிகள் அமையும் களமானது (L), K ஐ உள்ளடக்கிய களமாக இருக்க வேண்டும். பகுதிகளாக அமையும் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் பூச்சியமற்றதாக இருக்குமாறுள்ள மாறிகளின் மதிப்புகளைக் கொண்ட கணமானது இச்சார்பின் [[ஆட்களம் (கணிதம்)|ஆட்களமாகவும், இணையாட்களம் L ஆகவும் அமையும்.

வரையறை

$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ என்ற வடிவில் எழுதக்கூடியதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, $f(x)$ ஒரு விகிதமுறு சார்பாகும்.

இதில் $P$, $Q$ $x$ மாறியில் அமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள்; $Q$ பூச்சியமற்ற பல்லுறுப்புக்கோவை; $Q(x)$ பூச்சியமற்றதாக இருக்குமாறுள்ள $x$ இன் மதிப்புகள் $f$ இன் ஆட்களம்.

மாறிலியாக இல்லாத ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையானது $P$, $Q$ இரண்டின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியாக ($R$) இருக்குமானால், $P$, $Q$ இரண்டையும் $R$ ஆல் வகுத்து பின்வரும் விகிதமுறு சார்பு $f_1(x)$ ஐப் பெறலாம்:

$P=P_{1}R,$ $Q=Q_{1}R$

$f_1(x)=\frac{P_1(x)}{Q_1(x)},$

$f_1(x)$ இன் ஆட்களம், $f(x)$ இன் ஆட்களத்தை விடப்பெரியது. $f(x).$ சார்பின் ஆட்களத்தில், $f_1(x)$ சார்பானது $f(x)$ க்குச் சமமானதாக இருக்கும்.

பல்லுறுப்புக்கோவை பின்னங்களின் சமானப் பகுதியாக விகிதமுறு சார்பைக் கொள்ளலாம்.

$P=P_{1}R,$ $Q=Q_{1}R$

$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P_{1}R}{Q_{1}R}=\frac{P_1}{Q_1}$

$\frac{P(x)}{Q(x)},$ $\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}$ இரண்டும் சமானமானவையாகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

• $f(x)=\frac{x^3-2x}{2(x^2-5)}.$

இந்த விகிதமுறு சார்பு $x^2=5\iff x=\pm \sqrt{5}$ இல் வரையறுக்கப்படவில்லை. x , முடிவிலியை அணுகும்போது இச்சார்பு $\frac{x}{2}$ க்கு ஈற்றணுகாக (asymptotic) அமையும்.

• $f(x)=\frac{x^2+2}{x^2+1}$

இந்த விகிதமுறு சார்பு எல்லா மெய்யெண்களுக்கும் வரையறுக்கப்பட்டது; ஆனால் அனைத்து சிக்கலெண்களுக்கும் வரையறுக்கப்பட்டதல்ல. x இன் மதிப்பு $-1$ இன் வர்க்கமூலமாக இருந்தால், (i அல்லது -i)

$f(i)=\frac{i^2+2}{i^2+1}=\frac{-1+2}{-1+1}=\frac{1}{0}$. எனவே x =±i மதிப்பிற்கு இச்சார்பு வரையறுக்கப்படவில்லை.

• மாறிலிச் சார்புகள் விகிதமுறு சார்புகளாகும். அனைத்து மாறிலிகளும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகும் என்பதால் மாறிலிச் சார்புகள் விகிதமுறு சார்புகளாக இருக்கும்.

f(x) = π, ஒரு மாறிலிச் சார்பு. x இன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் f(x) இன் மதிப்பு விகிதமுறாத மதிப்பாக இருப்பினும் இது ஒரு விகிதமுறு சார்பேயாகும்

• ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சார்பும் ஒரு விகிதமுறு சார்பு.

$f(x)=P(x)$ என்பது $Q(x)=1$ ஆகக் கொண்ட விகிதமுறு சார்பு.

மேற்கோள்கள்

• வார்ப்புரு:Springer
• வார்ப்புரு:Citation

வெளியிணைப்புகள்

• Dynamic visualization of rational functions with JSXGraph