விந்தை எண்

எண் கோட்பாட்டில், விந்தை எண் (weird number) என்பது மிகையெண்ணாக, ஆனால் அரைநிறைவெண்ணாக இல்லாத ஒரு இயல் எண் ஆகும். அதாவது ஒரு இயலெண்ணின் தகு வகுஎண்களின் கூடுதல் அந்த எண்ணைவிடப் பெரியதாகவும், ஆனால் அவ்வகுஎண்களின் எந்தவொரு உட்கணத்தின் கூடுதலும் அந்த இயலெண்ணுக்குச் சமமாகவும் இல்லாமல் இருந்தால் அந்த இயலெண் ஒரு விந்தை எண்ணாகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

• மிகச் சிறிய விந்தை எண் 70.

70 இன் தகு வகுஎண்கள்: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35

இவற்றின் கூடுதல்: 1 + 2 + 5 + 7 + 10 + 14 + 35 = 74 > 70. ஆனால் இந்த வகுஎண்களின் உட்கணம் எதன் கூடுதலும் 70 க்குச் சமமில்லை. எனவே 70 ஒரு விந்தை எண்.

எண் 12 விந்தை எண் இல்லை.

ஏனெனில் 12 இன் தகு வகுஎண்களான 1, 2, 3, 4, 6 இன் கூடுதல் 16 > 12. அதாவது 12 ஒரு மிகையெண். ஆனால் 2, 4, 6 ஆகிய மூன்று வகுஎண்களின் கூடுதல் 2+4+6 = 12 ஆக இருப்பதால் 12 அரைநிறைவெண் கிடையாது. எனவே அது ஒரு விந்தை எண் அல்ல.

துவக்க விந்தை எண்களில் சில:

70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, 10570, 10792, 10990, 11410, 11690, 12110, 12530, 12670, 13370, 13510, 13790, 13930, 14770, ... வார்ப்புரு:OEIS.

பண்புகள்

விந்தை எண்கள் முடிவிலா எண்ணிக்கையில் உள்ளன எடுத்துக்காட்டாக, p ஒரு பகாஎண்; p ≥ 149 என்ற நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்ட, p இன் மதிப்புகளுக்கு 70p விந்தை எண்களாக இருக்கும்.

ஒற்றை விந்தை எண்கள் உள்ளனவா என்பது கண்டுபிடிக்கப்படவில்லை. அவ்வாறு இருந்தால் அவை 2³⁰ ≈ 1வார்ப்புரு:E  ஐ விடப் பெரியதாகவும். 10²¹ ஐ விடப் பெரியதாகவும் இருக்கும்.

சிட்னி கிரவிட்சு (Sidney Kravitz) என்ற கணிதவியலாளர்,

k ஒரு முழுஎண்; 2^k ஐ விடப் பெரிய பகா எண் Q ; $R=\frac{2^{k}Q-(Q+1)}{(Q+1)-2^k}$ என்பது ; also prime and greater than 2^k ஐ விடப் பெரிய பகாஎண் எனில்

$n=2^{k-1}QR$ என்பது ஒரு விந்தை எண் எனக் கண்டறிந்தார்.

இந்த வாய்பாட்டைப் பயன்படுத்தி அவர் கண்டுபிடித்தப் பெரிய விந்தை எண்:

$n=2^{56}\cdot (2^{61}-1)\cdot 153722867280912929\approx 2\cdot 10^{52}$.

n ஒரு விந்தை எண்; n இன் வகுஎண்களின் கூட்டு σ(n) ஐ விடப் பெரிய பகாஎண் p எனில், pn உம் ஒரு விந்தை எண்ணாக இருக்கும்.

வேறெந்தவொரு விந்தை எண்ணின் பெருக்குத்தொகையாக அமையாத விந்தை எண்கள் முதனிலை விந்தை எண்கள் (primitive weird numbers) எனப்படும் வார்ப்புரு:OEIS. முதனிலை விந்தை எண்கள் முடிவிலா எண்ணிக்கையில் உள்ளன.

வெளியிணைப்புகள்

• வார்ப்புரு:MathWorld