வெளிவரைபடம் (கணிதம்)

ஒரு சார்பின் வெளிவரைபடம் (பச்சை) குவிவுக் கணமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அச்சார்பு (கறுப்பு) குவிவுச் சார்பாக இருக்கும்.

கணிதத்தில் ஒரு சார்பு $f:ℝ\to ℝ$ இன் வெளிவரைபடம் (epigraph) என்பது அச்சார்பின் வரைபடத்தின் மீது அல்லது அதற்கு மேற்புறமாக அமையும் அனைத்துப் புள்ளிகளின் கணமாகும்

f : Rⁿ→R சார்பின் வெளிவரைபடம்:

$\text{epi}f=\{(x,\mu ):x\in {ℝ}^n,\mu \in ℝ,\mu \ge f(x)\}\subseteq {ℝ}^{n+1},$

திட்டமான வெளிவரைபடம்

${\text{epi}}_{S}f=\{(x,\mu ):x\in {ℝ}^n,\mu \in ℝ,\mu >f(x)\}\subseteq {ℝ}^{n+1},$

R ∪ ∞ கணத்தில் மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கும் சார்புகளுக்கும் மேலே தரப்பட்டுள்ள வரையறைகள் பொருந்தும். இதில், f ஆனது  ∞-க்குச் சமமாக (identically equal) இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அதன் வெளிவரைபடம் வெற்றுக் கணமாக இருக்கும்.

இதேபோல, சார்பின் வரைபடத்தின் மீது அல்லது அதற்குக் கீழ்ப்புறமாக அமையும் அனைத்துப் புள்ளிகளின் கணம் அச்சார்பின் உள்வரைபடம் ஆகும்.

பண்புகள்

• ஒரு சார்பின் வெளிவரைபடம் குவிவுக் கணமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அச்சார்பு குவிவுச் சார்பாக இருக்கும்.
• ஒரு சார்பின் வெளிவரைபடம் குவிவுக் கணமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அச்சார்பு கீழ் அரைத் தொடர்ச்சியான சார்பு.

மேற்கோள்கள்

• Rockafellar, Ralph Tyrell (1996), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, NJ. வார்ப்புரு:ISBN.