அலகு (வளையக் கோட்பாடு)

இயற்கணிதத்தில் ஒரு வளையத்தின் அலகு (unit) அல்லது நேர்மாறுடைய அல்லது நேர்மாற்றத்தக்க உறுப்பு (invertible element) வார்ப்புரு:Efn என்பது வளையத்தின் பெருக்கற்செயலியைப் பொறுத்த நேர்மாறுடைய உறுப்பாகும். அதாவது, வார்ப்புரு:Mvar என்ற வளையத்தின் ஒரு உறுப்பு வார்ப்புரு:Mvar ஆனது அவ்வளையத்தின் அலகாக இருக்க வேண்டுமானால் கீழ்வரும் முடிவை நிறைவுசெய்யுமாறு வார்ப்புரு:Mvar என்ற ஒரு உறுப்பும் வார்ப்புரு:Mvar இல் இருக்க வேண்டும்: $$vu=uv=1,$$ (வார்ப்புரு:Math என்பது பெருக்கல் செயலுக்குரிய முற்றொருமை உறுப்பு).

இப்பண்பை நிறைவு செய்யும் வார்ப்புரு:Mvar ஆனது தனித்த உறுப்பாகும். அதாவது ஒவ்வொரு வளைய உறுப்பு வார்ப்புரு:Mvar க்கும் இப்பண்பை நிறைவுசெய்யும் வகையில் ஒரேயொரு வார்ப்புரு:Mvar தான் இருக்கும். மேலும் வார்ப்புரு:Mvar ஆனது வார்ப்புரு:Mvar இன் பெருக்கல் நேர்மாறு என அழைக்கப்படும்|.வார்ப்புரு:Sfnவார்ப்புரு:Sfn

வார்ப்புரு:Mvar வளையத்தின் அலகு உறுப்புகளைக் கொண்ட கணமானது, பெருக்கலைப் பொறுத்த குலமாக (வார்ப்புரு:Math) இருக்கும். இக்குலம் வார்ப்புரு:Mvar வளையத்தின் அலகுகளின் குலம் அல்லது அலகு குலம் (group of units, unit group) எனப்படும்.வார்ப்புரு:Efn அலகு குலத்திற்கான மற்ற குறியீடுகள்: வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math (வார்ப்புரு:Math என்பது செருமானிய வார்த்தை வார்ப்புரு:Lang இலிருந்து பெறப்பட்டது).

"அலகுவுறுப்புள்ள வளையம்" அல்லது "அலகு வளையம்" அல்லது "அலகு அணி" போன்ற வெகுசில இடங்களில், "அலகு" என்பது வார்ப்புரு:Math என்ற பெருக்கல் முற்றொருமை உறுப்பைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இக்குழப்பத்தைத் தவிர்ப்பதற்காக, வார்ப்புரு:Math ஆனது "பெருக்கலைப் பொறுத்த முற்றொருமை உறுப்பு" என அழைக்கப்படுகிறது. மேலும் பெருக்கல் முற்றொருமை இல்லாத வளையங்களிலிருந்து (ஆங்கிலக் குறியீடு:rng) வேறுபடுத்திக் காட்டுவதற்காகவும் "அலகு உறுப்புள்ள வளையம்" அல்லது "முற்றொருமையுள்ள வளையம்" என்ற தொடர்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு

• பெருக்கல் முற்றொருமை வார்ப்புரு:Math மற்றும் அதன் கூட்டல் நேர்மாறு வார்ப்புரு:Math ஆகிய இரண்டும் எப்போதும் அலகுகள் ஆகும். பொதுவாக வார்ப்புரு:Mvar வளையத்திலுள்ள 1 இன் படிமூலம் ஒவ்வொன்றும் ஒரு அலகாக இருக்கும்:

வார்ப்புரு:Math எனில் வார்ப்புரு:Math ஆனது வார்ப்புரு:Mvar இன் பெருக்கல் நேர்மாறாகும்.

• சுழியமற்ற வளையத்தில், கூட்டல் முற்றொருமையான '0' ஒரு அலகல்ல. எனவே வார்ப்புரு:Math ஆனது கூட்டலைப் பொறுத்து அடைவுறாதது.
• சுழியமற்ற ஒவ்வொரு உறுப்பும் அலகாகவுள்ள ஒரு சுழியமற்ற வளையமானது (அதாவது, வார்ப்புரு:Math) வகுத்தல் வளையம் எனப்படும். ஒரு பரிமாற்று வகுத்தல் வளையமானது களமாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, மெய்யெண் களம் வார்ப்புரு:Math இன் அலகு குலம் வார்ப்புரு:Math.

முழுவெண் வளையம்

முழு எண் வளையம் வார்ப்புரு:Math இல், வார்ப்புரு:Math மற்றும் வார்ப்புரு:Math ஆகிய இரண்டு மட்டுமே அலகுகளாகும்..

மாடுலோ n முழுஎண்கள் வளையத்தில் (வார்ப்புரு:Math), வார்ப்புரு:Mvar உடன் சார்பாகா எண்களாகவுள்ள முழுவெண்களைக் கொண்ட முற்றிசைவுத் தொகுதிகள் அலகுகளாக இருக்கும். அவை மாடுலோ வார்ப்புரு:Mvar முழுவெண்களின் பெருக்கல் குலமாக அமையும்.

எண் களத்தின் முழுவெண் வளையம்

வார்ப்புரு:Math உடன் இருபடி முழுவெண் வார்ப்புரு:Math சேர்த்து வளையம் வார்ப்புரு:Math பெறப்படுகிறது. இவ்வளையத்தில்:

வார்ப்புரு:Math; எனவே வார்ப்புரு:Math ஒரு அலகாகும்;

அத்துடன் அதன் அடுக்குகளும் அலகுகளாக இருக்குமென்பதால் வார்ப்புரு:Math வளையத்திற்கு முடிவிலா அலகுகள் உள்ளன.

பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் அடுக்குத் தொடரும்

பரிமாற்று வளையம் வார்ப்புரு:Mvar; அதன் பல்லுறுப்புக்கோவை வளையத்தின் (வார்ப்புரு:Math) அலகுகுகள் கீழுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக இருக்கும்:

$p(x)=a_0+a_{1}x+\dots +a_n{x}^n$;

வார்ப்புரு:Math ஆனது, வார்ப்புரு:Mvar இன் அலகு;

பிற கெழுக்களுக்கான ($a_1,\dots ,a_n$) கட்டுப்பாடு: வார்ப்புரு:Math இன் சில மதிப்புகளுக்கு $a_i^N=0$ அதாவது அவை இன்ம அடுக்கானவை.வார்ப்புரு:Sfn

குறிப்பாக வார்ப்புரு:Mvar வளையமானது ஆட்களமாகவோ அல்லது குறைக்கப்பட்ட வளையமாகவோ இருந்தால், வார்ப்புரு:Math இன் அலகுகள், வார்ப்புரு:Mvar இன் அலகுகளாக இருக்கும்.

அடுக்குத்தொடர் வளையத்தின் ($R[[x]]$) அலகுகளாகக் கீழுள்ள அடுக்குத்தொடர்கள் இருக்கும்:

$p(x)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{x}^i$; வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Mvar இன் அலகு.வார்ப்புரு:Sfn

அணிகளின் வளையங்கள்

வார்ப்புரு:Mvar வளையத்தின் மீதான [[சதுர அணி|வார்ப்புரு:Math சதுர அணி]]களின் வளையம் வார்ப்புரு:Math இன் அலகு குலமானது (வார்ப்புரு:Math) நேர்மாற்றத்தக்க அணிகளின் குலமாகும். பரிமாற்று வளையம் வார்ப்புரு:Mvar மீதான சதுர அணிகளின் வளையத்தின் (வார்ப்புரு:Math) ஒரு உறுப்பு வார்ப்புரு:Mvar ஆனது, நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருக்க வேண்டுமானால், வார்ப்புரு:Mvar இன் அணிக்கோவையானது வார்ப்புரு:Mvar இல் நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே முடியும். அந்நிலையில் வார்ப்புரு:Mvar இன் நேர்மாறு அணி வார்ப்புரு:Math ஐ வெளிப்படையாக வார்ப்புரு:Mvar இன் சேர்ப்பு அணியின் வாயிலாக எழுதலாம்.

பொதுவானவை

வார்ப்புரு:Mvar வளையத்தின் இரு உறுப்புகள் வார்ப்புரு:Mvar, வார்ப்புரு:Mvar எனில், $1-xy$ நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால் $1-yx$ உம் நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருக்கும்; மேலும் $1-yx$ இன் நேர்மாறு $1+y(1-xy{)}^{-1}x$ ஆகும்வார்ப்புரு:Sfn $$(1-yx{)}^{-1}=\sum _{n\ge 0}(yx{)}^n=1+y(\sum _{n\ge 0}(xy{)}^n)x=1+y(1-xy{)}^{-1}x.$$

மூலங்கள்

• வார்ப்புரு:Cite book
• வார்ப்புரு:Cite book
• வார்ப்புரு:Cite book
• வார்ப்புரு:Cite book
• வார்ப்புரு:Citation
• வார்ப்புரு:Cite book