ஒன்றின் படிமூலம்

சிக்கலெண் தளத்தில் ஒன்றின் ஐந்தாம் படிமூலங்களின் வரைபடம்

ஒரு சிக்கலெண்ணை ஏதேனுமொரு முழு எண் அடுக்குக்கு உயர்த்தும் போது அதன் மதிப்பு 1 ஆக இருக்குமானால் அந்தச் சிக்கலெண்ணானது ஒன்றின் படிமூலம் (root of unity) என அழைக்கப்படுகிறது. சில சமயங்களில் இது டி மாவரின் எண் எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை

$z$ ஒரு சிக்கலெண்; $n$ ஒரு முழுஎண் என்க:

$z^n=1$ என்ற சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் $z$ ஆனது ”ஒன்றின் $n$ஆம் படிமூலம்” என வரையறுக்கப்படுகிறது.

தொடக்கநிலை மூலம்

$n$ ஐ விடச் சிறிய எந்த முழுஎண் அடுக்கிற்கும் $z$ இன் மதிப்பு எண் 1 இல்லையெனில், $z$ ஆனது ”ஒன்றின் தொடக்கநிலை $n$ஆம் படிமூலம் எனப்படும். அதாவது $z$ ஒன்றின் தொடக்கநிலை $n$ஆம் படிமூலம் எனில்,

$z^n=1,$

$z^k\ne 1(k=1,2,3,\dots ,n-1),$ ஆகிய இரு முடிவுகளும் நிறைவு செய்யப்பட வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு:

$i^8=1$ என்பது உண்மை; ஆனால்,

$i^4=1$ என்பதும் உண்மை என்பதால் $i$ ஆனது ஒன்றின் தொடக்கநிலை எண்படி மூலம் அல்ல; ஒன்றின் தொடக்கநிலை நான்காம் படிமூலமாக இருக்கும்.

சில அடிப்படை முடிவுகள்

• ஒன்றின் ஒவ்வொரு n ஆம் படிமூலமும் ஏதேனுமொரு மதிப்பு a (வார்ப்புரு:Math)க்கு ஒன்றின் தொடக்கநிலை aவதுபடி மூலமாக இருக்கும்.

• ஒன்றின் nஆம் படிமூலம் z; வார்ப்புரு:Math எனில் $z^a=z^b.$

விளக்கம்

சமானம், மாடுலோ n-வரையறைப்படி,

வார்ப்புரு:Math என்பதால் வார்ப்புரு:Math (k ஒரு முழுஎண்) என எழுதலாம். இதனைப் பயன்படுத்த:

$z^a=z^{b+kn}=z^b{z}^{kn}=z^b(z^n{)}^k=z^b{1}^k=z^b.$

• ஒன்றின் தொடக்கநிலை nஆம் படிமூலம் z எனில்:

$z^a=z^b⟺a\equiv b(\mathrm{mod}n).$

z தொடக்கநிலை படிமூலம் இல்லையெனில்:

$a\equiv b(\mathrm{mod}n)⟹z^a=z^b.$ என்பது மட்டுமே உண்மையாக இருக்கும்.

• $(z^k{)}^n=z^{kn}=(z^n{)}^k=1^k=1.$

• $\frac{1}{z}=z^{-1}=z^{n-1}=\overline{z}.$ (இணைச் சிக்கலெண்)

• nஆம் படி பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டிற்கு வெவ்வேறான n தீர்வுகள் மட்டுமே இருக்க முடியும். எனவே ஒன்றின் தொடக்கநிலை மூலம் z எனில் அதன் பின்வரும் அடுக்குகள்,

z , வார்ப்புரு:Math, … , வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math ஆகியவை ஒன்றின் nஆம் படிமூலங்களாக இருக்கும்.

ஒன்றின் n ஆம் படிமூலங்கள் காணும் வாய்ப்பாடு

டி மாவரின் வாய்ப்பாட்டில் வார்ப்புரு:Math எனப் பதிலிட ஒன்றின் தொடக்கநிலை n ஆம் படிமூலம் கிடைக்கிறது:

டி மாவரின் வாய்ப்பாடு

$(\cos x+i\sin x{)}^n=\cos nx+i\sin nx.$ (x மெய்யெண், n முழுஎண்)

இதில் வார்ப்புரு:Math எனப் பதிலிட,

${(\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n})}^n=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1,$ எனக் கிடைக்கிறது.

எனவே $(\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n})$ ஆனது ஒன்றின் n ஆம் படிமூலம் ஆகும்.

மேலும் $0<k<n.$ எனும்போது,

${(\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n})}^k=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}\ne 1$ எனவும் அமைவதால் மேலே தரப்பட்ட ஒன்றின் n ஆம் படிமூலமானது தொடக்கநிலை படிமூலம் என்பதையும் அறியலாம்.

$\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n},(*)$

இந்த வாய்ப்பாடு, வார்ப்புரு:Math மதிப்புகளுக்கு ஒன்றின் n ஆம் படிமூலங்கள் அனைத்தையும் தருகிறது.

வாய்ப்பாட்டில் k இன் மதிப்புகளைப் பதிலிடக் கிடைக்கும் ஒன்றின் n ஆம் படிமூலங்கள்:

$1,$ $\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n},$ $\cos \frac{4\pi }{n}+i\sin \frac{4\pi }{n}$....$\cos \frac{(n-1)2\pi }{n}+i\sin \frac{(n-1)2\pi }{n}$

மேலேயுள்ள வாய்ப்பாட்டில் ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி ஒன்றின் படிமூலங்களைக் காணும் வாய்ப்பட்டைப் பின்வருமாறு பெறலாம்.

ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$ (x இன் அனைத்து மெய்யெண் மதிப்புகளுக்கும்)

இதனை வாய்ப்பாடு $(*)$ இல் பயன்படுத்தக் கிடைக்கும், ஒன்றின் n ஆம் படிமூலங்கள் காணும் வாய்ப்பாடு:

$\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}=e^{2\pi i\frac{k}{n}}0\le k<n.$

இவ் வாய்ப்பாட்டில் வார்ப்புரு:Math சுருக்கவியலாப் பின்னமாக, அதாவது வார்ப்புரு:Math , வார்ப்புரு:Math இரண்டும் சார்பகா எண்களாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இந்த மூலம் ஒன்றின் தொடக்கநிலை படிமூலமாக இருக்கும்.

இந்த வாய்ப்பாட்டின்படி ஒன்றின் n ஆம் படிமூலங்கள்:

$1,$ $e^{i\frac{2\pi }{n}},$ $e^{i\frac{4\pi }{n}},$ $e^{i\frac{6\pi }{n}}....$ $e^{i\frac{2(n-1)\pi }{n}},$

முடிவுகள்

$\omega =e^{i\frac{2\pi }{n}}=(\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n})$ எனக் கொண்டால் ஒன்றின் n ஆம் படிமூலங்கள்:

$1,\omega ,{\omega }^2,{\omega }^3,{\omega }^4,....{\omega }^{(n-1)}$

• ${\omega }^n=1$
• ஒன்றின் n ஆம் படிமூலங்களின் கூடுதல் 0

$1+\omega +{\omega }^2+{\omega }^3+{\omega }^4+....{\omega }^{(n-1)}=0$

• $1,\omega ,{\omega }^2,{\omega }^3,{\omega }^4,....{\omega }^{(n-1)}$ $\omega$ ஐப் பொதுவிகிதமாகக் கொண்ட பெருக்குத் தொடராக அமைகிறது (பெருக்குத்தொடரின் பொதுவிகிதம் $\omega$)
• சிக்கலெண் தளத்தில் ஒன்றின் n ஆம் படிமூலங்கள் அனைத்தும், அலகு வட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட n பக்கங்கள் கொண்ட ஒழுங்குப் பல்கோணத்தின் உச்சிகளாக அமைவதையும், ஒரு உச்சி 1 இல் அமைவதையும் அறியலாம்.

ஒன்றின் பிற படிமூலங்கள்

முதலாம் படிமூலம்

வார்ப்புரு:Math சமன்பாட்டிற்குள்ள ஒரேயொரு தீர்வாக +1 உள்ளது. இது மட்டுமே ஒன்றின் தொடக்கநிலை முதலாம் படிமூலமாகும். (+1 ஆனது, ஒன்றின் இரண்டாம், மூன்றாம், நான்காம்படி,... தொடக்கநிலையற்ற படிமூலமாக அமையும்)

இரண்டாம் படிமூலங்கள் (வர்க்க மூலம்)

வார்ப்புரு:Math சமன்பாட்டிற்கு +1 , −1 ஆகிய இரு தீர்வுகள் உள்ளன. இவற்றில், +1 ஒன்றின் தொடக்கநிலையற்ற இரண்டாம் படிமூலம்; −1 ஒன்றின் தொடக்கநிலை இரண்டாம் படிமூலம்.

±1 மட்டுமே ஒன்றின் மெய்யெண் படிமூலங்கள்; ஏனைய படிமூலங்கள் சிக்கலெண்களாகும்.

முப்படி மூலங்கள்

ஒன்றின் முப்படி மூலங்கள்

$z^3-1=0$

$(z-1)(z^2-z-1)=0$

இச் சமன்பாட்டின் தீர்வுகள்:

$1,\{e^{\frac{2\pi i}{3}},e^{-\frac{2\pi i}{3}}\}=1,\{\frac{-1+i\sqrt{3}}{2},\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\}$

இம் மூன்றில் 1 தவிர்த்த மற்ற இரு மூலங்களும் தொடக்கநிலை மூன்றாம் படிமூலங்களாகும். ஒன்றின் முப்படி மூலங்கள் மூன்றும் சிக்கலெண் தளத்தில் அலகு வட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட சமபக்க முக்கோணத்தின் உச்சிகளாக அமைகின்றன (படத்தில் காண்க).

நான்காம் படிமூலங்கள்

$z^4-1=0$

$(z^2-1)(z^2+1)=0$

$(z+1)(z-1)(z+i)(z-i)=0$

இச் சமன்பாட்டின் தீர்வுகள்:

$1,-1,\{e^{\frac{2\pi i}{4}},e^{-\frac{2\pi i}{4}}\}=1,-1,\{\pm \sqrt{-1}\}=1,-1,\{+i,-i\}.$

இவற்றில் $\{+i,-i\}$ இரண்டும் ஒன்றின் தொடக்கநிலை நான்காம் படிமூலங்கள்.

ஒன்றின் நான்காம் படிமூலங்கள் நான்கும் சிக்கலெண் தளத்தில் அலகு வட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட சதுரத்தின் உச்சிகளாக அமைகின்றன.

தொடக்கநிலை ஐந்தாம் படிமூலங்கள்

$\{e^{\frac{2\pi ik}{5}}|1\le k\le 4\}=\{\frac{u\sqrt{5}-1}{4}+vi\sqrt{\frac{5+u\sqrt{5}}{8}}|u,v\in \{-1,1\}\}.$

தொடக்கநிலை ஆறாம் படிமூலங்கள்

$\{e^{\frac{2\pi i}{6}},e^{-\frac{2\pi i}{6}}\}=\{\frac{1+i\sqrt{3}}{2},\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\}.$

இவை இரண்டும் தொடக்கநிலை மூன்றாம் படிமூலங்களின் எதிர் எண்களாக உள்ளன.

இதேபோல n இன் ஏனைய முழுஎண் மதிப்புகளுக்கு ஒன்றின் படிமூலங்களைக் காணலாம்.

மேற்கோள்கள்

• வார்ப்புரு:Lang Algebra
• வார்ப்புரு:Cite web
• வார்ப்புரு:Cite web
• வார்ப்புரு:Neukirch ANT
• வார்ப்புரு:Cite book
• வார்ப்புரு:Cite book
• வார்ப்புரு:Cite book