சேர்ப்பு அணி

நேரியல் இயற்கணிதத்தில் ஒரு சதுர அணியின் சேர்ப்பு அணி அல்லது இணைப்பு அணி (adjugate matrix) என்பது அச்சதுர அணியின் இணைக்காரணி அணியின் இடமாற்று அணியாகும்.

வரையறை

A அணியின் இணைக்காரணி அணி C இன் இடமாற்று அணியானது A இன் சேர்ப்பு அணி அல்லது இணைப்பு அணி என வரையறுக்கப்படுகிறது.

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀)={𝐂}^{𝖳}.$

R ஒரு பரிமாற்று வளையம்; R இலுள்ள உறுப்புகளாலான வார்ப்புரு:Math அணி A.

• M_ij என்பது A அணியின் (i,j) சிற்றணிக்கோவை; இது A அணியின் வார்ப்புரு:Mvar ஆவது நிரையையும் வார்ப்புரு:Mvar ஆவது நிரலையும் நீக்குவதன் மூலம் பெறப்படும் (n − 1)×(n − 1)}} அணியின் அணிக்கோவை.
• C_ij என்பது A அணியின் (i,j) இணைக்காரணி;

${𝐂}_{ij}=(-1{)}^{i+j}{𝐌}_{ij}.$

• A அணியின் இணைக்காரணி அணி C என்பது ஒரு வார்ப்புரு:Math அணி; இதன் வார்ப்புரு:Math ஆவது உறுப்பு A அணியின் வார்ப்புரு:Math ஆவது இணைக்காரணியாக இருக்கும்
• C அணியின் இடமாற்று அணியே A அணியின் சேர்ப்பு அணியாகும். அதாவது வார்ப்புரு:Math வரிசை கொண்ட சேர்ப்பு அணியின் (i,j) உறுப்பானது A அணியின் (j,i) இணைக்காரணியாக அமையும்:

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀{)}_{ij}={𝐂}_{ji}=(-1{)}^{i+j}{𝐌}_{ji}$.

• A அணியையும் அதன் சேர்ப்பு அணியையும் பெருக்கக் கிடைக்கும் அணி, வார்ப்புரு:Math ஐ முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகளாகக் கொண்ட மூலைவிட்ட அணியாகும்.

$𝐀\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀)=\det (𝐀)𝐈.$

• R இல், det(A) நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, A அணியும் நேர்மாற்றத்தக்க அணியாக இருக்கும். அவ்வாறு நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால் கீழுள்ள இரு முடிவுகளும் உண்மையாகும்:

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀)=\det (𝐀){𝐀}^{-1},$

${𝐀}^{-1}=\frac{1}{\det (𝐀)}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀).$

எடுத்துக்காட்டுகள்

1 × 1 பொது அணி

எந்தவொரு பொதுவான 1×1 அணிக்கும் அதன் சேர்ப்பு அணி: $𝐈=(1)$.

2 × 2 பொதுஅணி

$𝐀=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ என்ற 2 × 2 பொதுஅணியின் சேர்ப்பு அணி:

$\mathrm{adj}(𝐀)=\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$.

மேலும் det(adj(A)) = det(A) என்பதும் adj(adj(A)) = A என்பதும் உண்மையாக இருக்கும்.

3 × 3 பொதுஅணி

$𝐀=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)$

இதன் இணைக்காரணி அணி:

$𝐂=\left(\begin{array}{ccc}+\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|\\ & & \\ -\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|\\ & & \\ +\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{22}& a_{23}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{21}& a_{23}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|\end{array}\right)$

சேர்ப்பு அணி:

$\mathrm{adj}(𝐀)={𝐂}^{𝖳}=\left(\begin{array}{ccc}+\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{22}& a_{23}\end{array}\right|\\ & & \\ -\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{21}& a_{23}\end{array}\right|\\ & & \\ +\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|\end{array}\right)$

3 × 3 எண் அணி

$\mathrm{adj}\left(\begin{array}{ccc}-3& 2& -5\\ -1& 0& -2\\ 3& -4& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-8& 18& -4\\ -5& 12& -1\\ 4& -6& 2\end{array}\right)$.

செயல்முறை:

$\left(\begin{array}{ccc}-3& 2& -5\\ -1& 0& -2\\ 3& -4& 1\end{array}\right)$ அணியின் இணைக்காரணி அணி:

$𝐂=\left(\begin{array}{ccc}+\left|\begin{array}{cc}0& -2\\ -4& 1\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}-1& -2\\ 3& 1\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}-1& 0\\ 3& -4\end{array}\right|\\ & & \\ -\left|\begin{array}{cc}2& -5\\ -4& 1\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}-3& -5\\ 3& 1\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}-3& 2\\ 3& -4\end{array}\right|\\ & & \\ +\left|\begin{array}{cc}2& -5\\ 0& -2\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}-3& -5\\ -1& -2\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}-3& 2\\ -1& 0\end{array}\right|\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-8& -5& 4\\ 18& 12& -6\\ -4& -1& 2\end{array}\right)$

இணைக்காரணி அணியின் இடமாற்று அணி:

${𝐂}^{𝖳}={\left(\begin{array}{ccc}-8& -5& 4\\ 18& 12& -6\\ -4& -1& 2\end{array}\right)}^{𝖳}=\left(\begin{array}{ccc}-8& 18& -4\\ -5& 12& -1\\ 4& -6& 2\end{array}\right)=\mathrm{adj}\left(\begin{array}{ccc}-3& 2& -5\\ -1& 0& -2\\ 3& -4& 1\end{array}\right)$

பண்புகள்

சேர்ப்பு அணியின் பண்புகள்:

A , B இரண்டும் வார்ப்புரு:Math அணிகள் எனில்:

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐈)=𝐈$

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀𝐁)=\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐁)\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀)$

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(c𝐀)=c^{n-1}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀)$

m ஒரு முழு எண் எனில்:

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}({𝐀}^m)=\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀{)}^m$

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}({𝐀}^{𝖳})=\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀{)}^{𝖳}$

A ஒரு n×n அணி; மேலும் n ≥ 2 எனில்:

$\det (\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀))=\det (𝐀{)}^{n-1},$

மேலும் A ஒரு நேர்மாற்றத்தக்க n×n அணி எனில்:

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀))=\det (𝐀{)}^{n-2}𝐀,$

A நேர்மாற்றத்தக்கது, n = 2 எனில்:

det(adj(A)) = det(A)

adj(adj(A)) = A

நேர்மாற்றத்தக்க அணி A க்கு வார்ப்புரு:Mvar தடவைகள் சேர்ப்பு அணி காணக் கிடைப்பது:

${\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}}_k(𝐀)=\det (𝐀{)}^{\frac{(n-1{)}^k-(-1{)}^k}{n}}{𝐀}^{(-1{)}^k},$

$\det ({\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}}_k(𝐀))=\det (𝐀{)}^{(n-1{)}^k}.$

மேற்கோள்கள்

• Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1991), Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, வார்ப்புரு:ISBN

வெளியிணைப்புகள்

• Matrix Reference Manual
• Online matrix calculator (determinant, track, inverse, adjoint, transpose) Compute Adjugate matrix up to order 8
• வார்ப்புரு:Cite web