ஆய்லரின் முற்றொருமை

வார்ப்புரு:Math முடிவிலியை நெருங்கும்போது கிடைக்கும் வார்ப்புரு:Nowrapஇன் எல்லை மதிப்பாக, வார்ப்புரு:Math^{வார்ப்புரு:Math}ஐ வரையறுக்கலாம். எனவே வார்ப்புரு:Nowrap இன் எல்லை மதிப்பாக வார்ப்புரு:Math^{வார்ப்புரு:Mathவார்ப்புரு:Pi} அமைகிறது. இந்த அசைப்படத்தில், 1 முதல் 100 வரையிலான பல கூடும் மதிப்புகளை வார்ப்புரு:Math ஏற்கும்போது, வார்ப்புரு:Nowrap இன் கணக்கீடு காட்டப்படுகிறது.வார்ப்புரு:Math இன் மதிப்பு அதிகரிக்க அதிகரிக்க, வார்ப்புரு:Nowrap இன் மதிப்பு −1 ஐ நெருங்குவதைக் காணலாம்.

கணிதத்தில் ஆய்லரின் முற்றொருமை (Euler's identity)

$e^{i\pi }+1=0$ எனும் சமன்பாடு ஆகும்.

இதில்:

வார்ப்புரு:Math என்பது ஆய்லர் மாறிலி; இயல் மடக்கையின் அடிமானம்,

வார்ப்புரு:Math என்பது கற்பனை அலகு; வார்ப்புரு:Math² = −1, and

வார்ப்புரு:Pi என்பது ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவுக்கும் அதன் விட்டத்துக்குமான விகிதம்.

கணிதவியலாளர் ஆய்லரின் பெயரால் இம் முற்றொருமை ”ஆய்லரின் முற்றொருமை” என அழைக்கப்படுகிறது. இம் முற்றொருமை, ஆய்லரின் சமன்பாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

விளக்கம்

ஒரு பொதுக் கோணத்திற்கான ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு

சிக்கலெண் தளத்தில் வரையறுக்கப்படும் ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டின் சிறப்பு வகையாகவே ஆய்லரின் முற்றொருமை அமைகிறது.

ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு

வார்ப்புரு:Math ஏதேனுமொரு மெய்யெண் எனில்:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

இங்கு முக்கோணவியல் சார்புகளான sine , cosine இரண்டும் ரேடியனில் தரப்படுகின்றன.

வார்ப்புரு:Math = வார்ப்புரு:Pi எனும்போது ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு ஆய்லரின் முற்றொருமையாகிறது.

வார்ப்புரு:Math = வார்ப்புரு:Pi என ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டில் பிரதியிட,

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .$

மேலும் $\cos \pi =-1,\sin \pi =0$ என்பதால்,

$e^{i\pi }=-1+0i$

$e^{i\pi }=-1$

$e^{i\pi }+1=0.$ (ஆய்லரின் முற்றொருமை)

சிறப்புகள்

• அடிப்படைக் கணிதச் செயல்களான கூட்டல், பெருக்கல், அடுக்கேற்றம் ஆகிய மூன்று செயல்களும் இம் முற்றொருமையில் ஒவ்வொன்றும் ஒரேயொரு முறை காணப்படுகின்றன.
• ஐந்து அடிப்படைக் கணித மாறிலிகளை இணைக்கிறது:
  • கூட்டல் சமனியான எண் 0.
  • பெருக்கல் சமனியான எண் 1.
  • ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவுக்கும் விட்டத்துக்குமான விகிதமாக அமையும் வார்ப்புரு:Pi (வார்ப்புரு:Pi = 3.14159265...)
  • இயற்மடக்கையின் அடிமானமான வார்ப்புரு:Math (வார்ப்புரு:Math = 2.718281828...).
  • கற்பனை அலகு வார்ப்புரு:Math
• கணித எழுத்தாளர் கான்ஸ்டன்ஸ் ரீட் (Constance Reid), ஆய்லரின் முற்றொருமையை “கணிதத்திலேயே மிக அதிகமாகப் புகழ்பெற்ற வாய்ப்பாடு” என்று கூறியுள்ளார்.
• 1990 இல் தி மேத்தமெட்டிகல் இண்டெலிஜென்சர் (The Mathematical Intelligencer) நடத்திய வாக்கெடுப்பில் ஆய்லரின் முற்றொருமை, "கணிதத்தின் மிக அழகிய தேற்றம்" என்ற பெயர் பெற்றது.
• பிசிக்கிஸ் வொர்ல்டு 2004 இல், வாசகர்களிடையே நடத்திய வாக்கெடுப்பில் மின்காந்தவியலின் மாக்சுவெல்லின் சமன்பாடுகள், ஆய்லரின் முற்றொருமை இரண்டும் சமமாக "எப்பொழுதும் மீப்பெரு சமன்பாடு" என்ற பட்டத்தைப் பெற்றன.

பொதுமைப்படுத்தல்

எண் 1 இன் nஆம் மூலங்களின் கூடுதல் சுழி (n > 1) என்ற முற்றொருமையின் சிறப்புவகையாகவும் ஆய்லரின் முற்றொருமை உள்ளது:

$\sum _{k=0}^{n-1}{e}^{2\pi ik/n}=0.$

இதில் வார்ப்புரு:Math = 2 எனப் பதிலிட்டால் ஆய்லரின் முற்றொருமை கிடைக்கிறது:

வார்ப்புரு:Math = 2 எனப் பதிலிட,

$\sum _{k=0}^1{e}^{\pi ik}=0$

$\Rightarrow e^0+e^{\pi i}=0$

$\Rightarrow 1+e^{\pi i}=0$ (ஆய்லரின் முற்றொருமை)

வரலாறு

1748 இல் வெளியிடப்பட்ட ஆய்லரின் Introductio in analysin infinitorum என்ற அவரது புத்தகத்தில் இந்த முற்றொருமை காணப்பட்டதாகக் கூறப்பட்டது. எனினும் அவர் இது குறித்து எதுவும் தெரிவிக்காததால் அம்முற்றொருமையைக் கண்டுபிடித்தது ஆய்லர்தானா என்பதும் கேள்விக்குரியதாகிறது. (மேலும் ஆய்லர் தனது புத்தகத்தில் (Introductio) குறிப்பிட்டது வார்ப்புரு:Math, கொசைன் , சைன் ஆகிய மூன்றையும் சிக்கலெண் தளத்தில் தொடர்புபடுத்தும் ஆய்லரின் வாய்ப்பாடாகும். ரோஜர் கோட்சு என்ற ஆங்கிலக் கணிதவியலாளரும் இவ் வாய்ப்பாட்டினை அறிந்திருந்தார். ஆய்லர் இதனைத் தனது சக சுவிஸ் கணிதவியலாளர் ஜோகன் பெர்னௌலி வாயிலாக அறிந்திருக்கக் கூடும் என்ற கருத்தும் உள்ளது.)

மூலங்கள்

• Conway, John Horton, and Guy, Richard (1996). The Book of Numbers (Springer, 1996). வார்ப்புரு:ISBN.
• Crease, Robert P., "The greatest equations ever", PhysicsWeb, October 2004 (registration required).
• Crease, Robert P. "Equations as icons," PhysicsWeb, March 2007 (registration required).
• Dunham, William (1999). Euler: The Master of Us All. Mathematical Association of America. வார்ப்புரு:ISBN.
• Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics (New York: Penguin, 2004).
• Euler, Leonhard. Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus (Leipzig: B. G. Teubneri, 1922).
• Kasner, E., and Newman, J., Mathematics and the Imagination (Simon & Schuster, 1940).
• Maor, Eli, e: The Story of a number (Princeton University Press, 1998). வார்ப்புரு:ISBN
• Nahin, Paul J., Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills (Princeton University Press, 2006). வார்ப்புரு:ISBN
• Paulos, John Allen, Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics (Penguin Books, 1992). வார்ப்புரு:ISBN
• Reid, Constance, From Zero to Infinity (Thomas Crowell, 1955).
• Sandifer, C. Edward. Euler's Greatest Hits (Mathematical Association of America, 2007). வார்ப்புரு:ISBN

வெளி இணைப்புகள்

• Complete derivation of Euler's identity
• Intuitive understanding of Euler's formula