எழும் தொடர்பெருக்கம்

கணிதத்தில், எழும் தொடர்பெருக்கம் அல்லது ஏறும் தொடர்பெருக்கம் (rising factorial) என்பது x -லிருந்து தொடங்கி தொடர்ந்து வரும் அடுத்தடுத்த n எண் காரணிகளின் பெருக்குத் தொகையைக் குறிக்கும். இங்கு n ஒரு குறையிலா முழு எண்ணாக இருத்தல் வேண்டும். அதாவது,

$x^{(n)}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1).$ ஆகும்.

இக்கட்டுரையில் எழும் தொடர்பெருக்கத்தைக் குறிக்க, வார்ப்புரு:Math என்ற குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது. எழும் தொடர் பெருக்கமானது போக்கம்மர் சார்பு அல்லது போக்கம்மர் பல்லுறுப்புக்கோவை அல்லது ஏறும் தொடர்பெருக்கம் எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

முதல் எழும் தொடர்பெருக்கங்கள் சில:

$x^{(0)}=1$

$x^{(1)}=x$

$x^{(2)}=x(x+1)=x^2+x$

$x^{(3)}=x(x+1)(x+2)=x^3+3x^2+2x$

$x^{(4)}=x(x+1)(x+2)(x+3)=x^4+6x^3+11x^2+6x$

பண்புகள்

சாதாரண தொடர்பெருக்கத்தை எழும் தொடர்பெருக்கம் மூலமாக பின்வருமாறு எழுதலாம்:

$n!=1^{(n)}$

ஒரு ஈருறுப்புக் கெழுவை எழும் தொடர்பெருக்கத்தின் மூலம் எழுதலாம்.

$\frac{x^{(n)}}{n!}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{x+n-1}{n})$

இதனால் ஈருறுப்புக் கெழுக்களுடைய பல முற்றொருமைகளில் எழும் தொடர்பெருக்கம் காணப்படுகிறது.

எழும் தொடர்பெருக்கத்தை வீழும் தொடர்பெருக்கத்தின் மூலம் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

$x^{(n)}={(x+n-1)}_n.$

இவ்விரண்டு தொடர்பெருக்கங்களுக்கு இடையேயுள்ள தொடர்பு:

${(-x)}^{(n)}={(-1)}^n{(x)}_n.$

ஒரு எழும் தொடர்பெருக்கம் எந்தவொரு வளையத்திலும் நன்கு வரையறுக்கப்படும் என்பதால், x -ஐ ஒரு கலப்பெண் (எதிர்ம முழுஎண்கள் உட்பட) அல்லது கலப்பெண் கெழுக்களுடைய பல்லுறுப்புக்கோவை அல்லது கலப்பெண் மதிப்புடைய சார்பு எனக் கொள்ளலாம்.

காமா சார்பை பயன்படுத்தி எழும் தொடர்பெருக்கத்தை வார்ப்புரு:Math -ன் மெய்யெண் மதிப்புகளுக்கும் நீட்டிக்கலாம். இதற்கு வார்ப்புரு:Math மற்றும் வார்ப்புரு:Math இரண்டும் எதிர்ம முழு எண்களற்ற கலப்பெண்களாக இருக்க வேண்டும்.

$x^{(n)}=\frac{\mathrm{\Gamma }(x+n)}{\mathrm{\Gamma }(x)},$

மாற்றுக் குறியீடு

ரொனால்ட் எல். கிரஹாம், டோனால்ட் இர்வின் நுத் மற்றும் ஓரென் ஃப்டாஷினிக் ஆகியோர் எழுதிய கான்கிரீட் மேத்தமெட்டிக்ஸ் புத்தகத்தில் எழும் தொடர்பெருக்கத்திற்கு வேறொரு குறியீடு தரப்பட்டுள்ளது.

இதன்படி எழும் தொடர்பெருக்கம்:

$x^{\bar{m}}=\stackrel{m\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}{\overbrace{x(x+1)\dots (x+m-1)}}\text{for integer }m\ge 0,$

மற்றுமொரு குறியீடு: வார்ப்புரு:Math.

இவற்றையும் பார்க்க

• வீழும் தொடர்பெருக்கம்

மேற்கோள்கள்

• வார்ப்புரு:Citation.

வெளி இணைப்புகள்

• வார்ப்புரு:MathWorld
• Elementary Proofs வார்ப்புரு:Webarchive