வீழும் தொடர்பெருக்கம்

கணிதத்தில், வீழும் தொடர்பெருக்கம் (falling factorial) என்பது x -லிருந்து தொடங்கி தொடர்ந்து ஒன்றொன்றாக குறைந்துவரும் முந்தைய முந்தைய n காரணிகளின் பெருக்குத் தொகையைக் குறிக்கும். இங்கு n ஒரு குறையிலா முழு எண்ணாக இருத்தல் வேண்டும். அதாவது,

$(x{)}_n=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)$ ஆகும்.

இக்கட்டுரையில் வீழும் தொடர்பெருக்கத்தைக் குறிக்க, வார்ப்புரு:Math என்ற குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது. வீழும் தொடர்பெருக்கமானது இறங்கும் தொடர்பெருக்கம் எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

முதல் வீழும் தொடர்பெருக்கங்கள் சில:

$x_{(0)}=1$

$x_{(1)}=x$

$x_{(2)}=x(x-1)=x^2-x$

$x_{(3)}=x(x-1)(x-2)=x^3-3x^2+2x$

$x_{(4)}=x(x-1)(x-2)(x-3)=x^4-6x^3+11x^2-6x$

பண்புகள்

சாதாரண தொடர்பெருக்கத்தை வீழும் தொடர்பெருக்கம் மூலமாக பின்வருமாறு எழுதலாம்:

$n!=n_{(n)}$

ஒரு ஈருறுப்புக் கெழுவை வீழும் தொடர்பெருக்கத்தின் மூலம் எழுதலாம்.

$\frac{(x{)}_n}{n!}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{n}).$

இதனால் ஈருறுப்புக் கெழுக்களுடைய பல முற்றொருமைகளில் வீழும் தொடர்பெருக்கம் காணப்படுகிறது.

எழும் மற்றும் வீழும் தொடர்பெருக்கங்களுக்கு இடையேயுள்ள தொடர்பு:

${(-x)}^{(n)}={(-1)}^n{(x)}_n.$ மற்றும்

$x^{(n)}={(x+n-1)}_n.$

ஒரு வீழும் தொடர்பெருக்கம் எந்தவொரு வளையத்திலும் ந்ன்கு வரையறுக்கப்படும் என்பதால், x -ஐ ஒரு கலப்பெண் (எதிர்ம முழுஎண்கள் உட்பட) அல்லது கலப்பெண் கெழுக்களுடைய பல்லுறுப்புக் கோவை அல்லது கலப்பெண் மதிப்புடைய சார்பு எனக் கொள்ளலாம்.

காமா சார்பை பயன்படுத்தி வீழும் தொடர்பெருக்கத்தை வார்ப்புரு:Math -ன் மெய்யெண் மதிப்புகளுக்கும் நீட்டிக்கலாம். இதற்கு வார்ப்புரு:Math மற்றும் வார்ப்புரு:Math இரண்டும் எதிர்ம முழு எண்களற்ற கலப்பெண்களாக இருக்க வேண்டும்.

$(x{)}_n=\frac{\mathrm{\Gamma }(x+1)}{\mathrm{\Gamma }(x-n+1)}.$

வார்ப்புரு:Math என்பது வார்ப்புரு:Math-ஐப் பொறுத்த வகையிடலைக் குறிக்குமானால்:

$D^n(x^a)=(a{)}_n{x}^{a-n}.$

மாற்றுக் குறியீடு

ரொனால்ட் எல். கிரஹாம், டோனால்ட் இர்வின் நுத் மற்றும் ஓரென் ஃப்டாஷினிக் ஆகியோர் எழுதிய கான்கிரீட் மேத்தமெட்டிக்ஸ் -ல் வீழும் தொடர்பெருக்கத்திற்கு வேறொரு குறியீடு தரப்பட்டுள்ளது.

இதன்படி வீழும் தொடர்பெருக்கம்:

$x^{\underset{\_}{m}}=\stackrel{m\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}{\overbrace{x(x-1)\dots (x-m+1)}}\text{for integer }m\ge 0;$

பிற குறியீடுகள்:

வார்ப்புரு:Math,

வார்ப்புரு:Math,

வார்ப்புரு:Math,

வார்ப்புரு:Math.

வார்ப்புரு:Math என எழும் தொடர்பெருக்கம் குறிக்கப்படும்போது வீழும் தொடர்பெருக்கமானது வார்ப்புரு:Math எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

இவற்றையும் பார்க்க

• எழும் தொடர்பெருக்கம்

மேற்கோள்கள்

• வார்ப்புரு:Citation.

Weisstein, Eric W. "Falling Factorial." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.

http://mathworld.wolfram.com/FallingFactorial.html