முழுமையான பெருக்கல் சார்பு

எண் கோட்பாட்டில் முழுமையான பெருக்கல் சார்பு (completely multiplicative functions அல்லது totally multiplicative functions) என்பது ஒரு எண்கணிதச் சார்பு ஆகும். n ஒரு நேர்ம முழுஎண் எனில், முழுமையான பெருக்கல் சார்பு f(n) இன் மதிப்பு கீழ்க்கண்டவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

$f(1)=1$

$f(ab)=f(a)f(b)$, (a, b இரு நேர்ம முழுவெண்கள்)

முழுமையான பெருக்கல் சார்பின் சிறப்புவகையாக, சார்பகா எண்களுக்கு பெருக்கல் சார்பு அமைகிறது. அதன் வரையறை:

n ஒரு நேர்ம முழுஎண் எனில், பெருக்கல் சார்பு f(n) இன் மதிப்பு கீழ்க்கண்டவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

$f(1)=1$

$f(ab)=f(a)f(b)$, (a, b சார்பகா முழுஎண்கள்)

வரையறை

முழுமையான பெருக்கல் சார்பு என்பது இயல் எண்களின் கணத்தை ஆட்களமாகக்கொண்ட எண்கணிதச் சார்பாகும். இச்சார்பு f இன் கீழ் f(1) = 1 ; f(ab) = f(a)f(b) ( a, b இரு நேர்ம முழ்வெண்கள்) என அமையும்.. அதாவது:

$f(1)=1$

$\mathrm{\forall }a,b\in \text{domain}(f),f(ab)=f(a)(b)$.

f(1) = 1 என்ற கட்டுப்பாடு தரப்படாவிடில், f(1) = 0 எனவும் எடுத்துக்கொள்ளலாம். ஆனால் அவ்வாறு கொள்ளும்போது a இன் எல்லா நேர்ம முழுவெண்மதிப்புகளுக்கும் f(a) = 0 ஆகிவிடும். இது ஒரு வலுவான கட்டுப்பாடாக அமையாது. $f(1)=1$ என நிலைப்படுத்திக்கொள்ளாவிட்டால், $0,$ $1$ ஆகிய இரண்டுமே $f(1)$ இன் மதிப்பாக அமைந்யும்:

$f(1)=f(1\cdot 1)⟺f(1)=f(1)f(1)⟺f(1)=f(1{)}^2⟺f(1{)}^2-f(1)=0⟺f(1)(f(1)-1)=0⟺f(1)=0\vee f(1)=1$.

$({\mathbb{Z}}^{+},\cdot )$ (நேர்ம முழுஎண்களின் கணம், பெருக்கல் செயலியின் கீழ்) என்ற ஒற்றைக்குலத்திலிருந்து மற்றொரு ஒற்றைக்குலத்திற்கு வரையறுக்கப்பட்ட காப்பமைவியமாகவும் முழுமையான பெருக்கல் சார்பைக் கருதலாம்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

• முழுமையான பெருக்கல் சார்புக்கு ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டாக தலைக்கெழு 1 ஆகக்கொண்ட ஓருறுப்புக்கோவை அமையும்:

n என்ற நேர்ம முழுவெண்ணுக்கு, f(a) = aⁿ என வரையறுத்துக் கொண்டால்,

f(bc) = (bc)ⁿ = bⁿcⁿ = f(b)f(c), and f(1) = 1ⁿ = 1.

• ஜேக்கோபி குறியீடுகள், லெஜாண்டர் குறியீடு, லியோவில் சார்பியம் ஆகியவை முழுமையான பெருக்கல் சார்புகளாகும்.

பண்புகள்

• எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றத்தின் விளவாக, ஒரு நேர்ம முழுஎண்ணின் முழுமையான பெருக்கல் சார்பானது அவ்வெண்ணின் பகாக்காரணிகளுக்கான சார்பு மதிப்புகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

n = p^a q^b ... எனில்,

f(n) = f(p)^a f(q)^b ...

• இரு பெருக்கல் சார்புகளின் டிரிழ்ச்லெட் பிணைவும் ஒரு பெருக்கல் சார்பாக இருக்கும்; ஆனால் இரு முழுமையான பெருக்கல் சார்புகளின் டிரிழ்ச்லெட் பிணைவானது முழுமையான பெருக்கல் சார்பாக இருக்கவேண்டியதில்லை.

• ஒரு பெருக்கல் சார்பானது முழுமையான பெருக்கல் சார்பாக இருப்பதற்குச் சமானமான பல கூற்றுகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக,

f ஒரு பெருக்கல் சார்பு எனில் அதன் டிரிழ்ச்லெட் நேர்மாறானது $\mu \cdot f$ ($\mu$ என்பது மோபியஸ் சார்பு) என "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே", f ஆனது முழுமையான பெருக்கல் சார்பாகவும் இருக்கும்.

• முழுமையான பெருக்கல் சார்புகள் பங்கீட்டு விதியை நிறைவுசெய்யும்.

$f\cdot (g*h)=(f\cdot g)*(f\cdot h)$

இதில் * குறியீடானது டிரிழ்ச்லெட் பெருக்கத்தையும், $\cdot$ குறியீடு உறுப்புவாரியான பெருக்கலையும் குறிக்கின்றன.

இப்பண்பின் ஒரு விளைவு:

f ஒரு முழுமையான பெருக்கல் சார்பு எனில், :$f*f=\tau \cdot f$

இம்முடிவை, மேலே தரப்பட்டள்ள பண்பில் $g=h=1$ எனப்பிரதியிட்டுப் பெறலாம். $1(n)=1$ என்பது மாறிலிச் சார்பு; $\tau$ என்பது வகுஎண் சார்பு.

பங்கீட்டு விதியின் நிறுவல்

$\begin{array}{cc}f\cdot (g*h)(n)& =f(n)\cdot \sum _{d|n}g(d)h\left(\frac{n}{d}\right)=\\ & =\sum _{d|n}f(n)\cdot (g(d)h\left(\frac{n}{d}\right))=\\ & =\sum _{d|n}(f(d)f\left(\frac{n}{d}\right))\cdot (g(d)h\left(\frac{n}{d}\right))\text{ (since }f\text{ is completely multiplicative) }=\\ & =\sum _{d|n}(f(d)g(d))\cdot (f\left(\frac{n}{d}\right)h\left(\frac{n}{d}\right))\\ & =(f\cdot g)*(f\cdot h).\end{array}$

வெளியிணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W. "Completely Multiplicative Function."