P-வழி மதிப்பீடு

எண் கோட்பாட்டில், ஒரு முழு எண் n இன் வார்ப்புரு:Mvar-வழி மதிப்பீடு அல்லது வார்ப்புரு:Mvar -வழி வரிசை என்பது வார்ப்புரு:Mvar ஐ வகுக்கும் ஒரு பகாஎண் வார்ப்புரு:Mvar இன் மிக உயர்ந்த அடுக்கு ஆகும். இது, ${\nu }_p(n)$ எனக் குறிக்கப்படுகிறது. சமானமாக, ${\nu }_p(n)$ என்பது $n$ -இன் முதன்மை காரணியாக்க வடிவில் பகாஎண் $p$ தோன்றும் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது .

வார்ப்புரு:Mvar -வழி மதிப்பீடு என்பது ஒரு மதிப்பிடல் முறையாக இருப்பதுடன் வழக்கமான தனி மதிப்பு காண்பதற்கு ஒத்தமுறையாகவும் அமைகிறது. விகிதமுறு எண்களைத் தனி மதிப்பு கொண்டு முழுமையாக்கம் செய்ய மெய்யெண்கள் $ℝ$ கிடைப்பதுபோல, விகிதமுறு எண்களை $p$-வழி தனிமதிப்பு கொண்டு முழுமையாக்கம் செய்ய $p$-வழி எண்கள் ${\mathbb{Q}}_p$ கிடைக்கும்.

இயல் எண்களை அவற்றின் 2-வழியான மதிப்பீட்டின் பரவல்; ஒத்த இரண்டின் அடுக்குகள் தசமத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ளன. பூச்சியம், முடிவிலா மதிப்பீடைக் கொண்டுள்ளது.

வரையறையும் பண்புகளும்

வார்ப்புரு:Mvar ஒரு பகா எண்.

முழு எண்கள்

ஒரு முழு எண் $n$-இன் வார்ப்புரு:Mvar -வழி மதிப்பீடு கீழுள்ளவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

${\nu }_p(n)=\{\begin{array}{cc}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{k\in \mathbb{N}:p^k\mid n\}& \text{if }n\ne 0\\ \mathrm{\infty }& \text{if }n=0,\end{array}$

இங்கு $\mathbb{N}$ இயல் எண்களின் கணத்தைக் குறிக்கிறது. மற்றும் $m\mid n$ ஆனது $n$ ஐ $m$ ஆல் வகுக்கும் தன்மையைக் குறிக்கிறது.

${\nu }_p$ ஒரு [[சார்பு|சார்பாக]] அமைகிறது:

${\nu }_p:\mathbb{Z}\to \mathbb{N}\cup \{\mathrm{\infty }\}$

எடுத்துக்காட்டாக:

${\nu }_2(-12)=2$

,

${\nu }_3(-12)=1$

,

${\nu }_5(-12)=0$

ஆகியவற்றிலிருந்து,

$|-12|=12=2^2\cdot 3^1\cdot 5^0$

.

$p^k\parallel n$ என்ற குறியீடு சில சமயங்களில் $k={\nu }_p(n)$ என்பதைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது .

$n$ ஒரு நேர்ம முழு எண் எனில்,

${\nu }_p(n)\le {\log }_{p}n$

இது, $n\ge p^{{\nu }_p(n)}$ என்பதிலிருந்து நேரிடையாகப் பெறப்படுகிறது.

விகிதமுறு எண்கள்

வார்ப்புரு:Mvar -வழி மதிப்பீட்டை கீழ்வரும் சார்பாக விகிதமுறு எண்களுக்கும் நீட்டிக்க முடியும்:

${\nu }_p:\mathbb{Q}\to \mathbb{Z}\cup \{\mathrm{\infty }\}$;

${\nu }_p\left(\frac{r}{s}\right)={\nu }_p(r)-{\nu }_p(s).$

எடுத்துக்காட்டாக, ${\nu }_2\left(\frac{9}{8}\right)=-3$ மற்றும் ${\nu }_3\left(\frac{9}{8}\right)=2$ இலிருந்து $\frac{9}{8}=2^{-3}\cdot 3^2$.

சில பண்புகள்:

${\nu }_p(r\cdot s)={\nu }_p(r)+{\nu }_p(s)$

${\nu }_p(r+s)\ge \min \{{\nu }_p(r),{\nu }_p(s)\}$

மேலும், ${\nu }_p(r)\ne {\nu }_p(s)$ எனில்,

${\nu }_p(r+s)=\min \{{\nu }_p(r),{\nu }_p(s)\}$

வார்ப்புரு:Mvar-வழி தனிமதிப்பு

விகிதமுறு எண்களின் கணம் $\mathbb{Q}$ இன் மீதான வார்ப்புரு:Mvar -வழி தனிமதிப்பு என்பது பின்வரும் சார்பாக அமையும்:

$|\cdot {|}_p:\mathbb{Q}\to {ℝ}_{\ge 0}$

$|r{|}_p=p^{-{\nu }_p(r)}.$

இதன் மூலம்,

$p$ இன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும்,

$|0{|}_p=p^{-\mathrm{\infty }}=0$ எனப் பெறப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக,

$|-12{|}_2=2^{-2}=\frac{1}{4}$

$|\frac{9}{8}{|}_2=2^{-(-3)}=8.$

வார்ப்புரு:Mvar -வழி தனி மதிப்பு பின்வரும் பண்புகளை நிறைவு செய்கிறது.

எதிர்மமற்றதன்மை	$|r{|}_p\ge 0$
நேர்ம-வரைவுத்தன்மை	$|r{|}_p=0⟺r=0$
பெருக்கல் தன்மை	$|rs{|}_p=|r{|}_p|s{|}_p$
ஆர்க்கிமீடியதற்றதன்மை	$|r+s{|}_p\le \max (|r{|}_p,|s{|}_p)$