அலகுநிலை வகுஎண்

கணிதத்தில் ஒரு இயல் எண் a ஆனது மற்றொரு எண் b இன் அலகுநிலை வகுஎண்ணாக (unitary divisor, Hall divisor) இருக்கவேண்டுமானால், a ஆனது b இன் வகுஎண்ணாகவும் a, $\frac{b}{a}$ இரண்டும் சார்பகா எண்களாகவும் இருக்க வேண்டும் (அதாவது அவையிரண்டுக்கும் 1 ஐத் தவிர வேறு பொதுக்காரணி இருக்காது).

இந்த வரையறைக்குச் சமானமானதாக, "a இன் ஒவ்வொரு பகாக்காரணியின் மடங்கெண்ணும் அக்காரணிக்கு b இலுள்ள மடங்கெண்ணுக்குச் சமமாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" a ஆனது b இன் அலகுநிலை வகுஎண்ணாக இருக்கும்" எனக் கூறலாம்.

அலகுநிலை வகுஎண் என்ற கருத்துரு ஆர். வைத்தியநாதசாமி (1931) என்பவரால் துவக்கப்பட்டது. இதற்கு அவர் பயன்படுத்திய பெயர் "தொகுதி வகுஎண்" (block divisor) ஆகும்.^[1]

எடுத்துக்காட்டு

60 இன் அலகுநிலை வகுஎண் 5. ஏனெனில்:

\frac{60}{5} = 12

5, 12

இரண்டும் சார்பகா எண்கள். அதாவது அவற்றின் ஒரேயொரு பொதுக்காரணி 1.

மாறாக 6 ஐ எடுத்துக்கொண்டால் அது 60 இன் வகுஎண் மட்டுமே; அலகுநிலை வகுஎண்ணல்ல. ஏனெனில்:

\frac{60}{6} = 10,

6, 10

இரண்டிற்கு 1 ஐத் தவிர மற்றொரு பொதுக்காரணி 2 உள்ளது.

பண்புகள்

ஒவ்வொரு இயல் எண்ணுக்கும் 1, ஒரு அலகுநிலை வகுஎண்ணாகும்.

n இன் அலகுநிலை வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை = 2^k, இதில் k ஆனது, n இன் வெவ்வேறான பகாக் காரணிகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது.

n ஆனது இரண்டின் அடுக்காக (1 உட்பட) இருந்தால், அதன் அலகுநிலை வகுஎண்களின் கூட்டுத்தையானது ஒற்றையெண்ணாகவும்,
- n ஆனது இரண்டின் அடுக்காக இல்லாவிட்டால், அதன் அலகுநிலை வகுஎண்களின் கூட்டுத்தையானது டைரட்டையெண்ணாக இருக்கும்.

n இன் அலகுநிலை வகுஎண்களின் எண்ணிகையும் கூட்டுத்தொகையும் பெருக்கல் சார்புகளாக இருக்கும். ஆனால் அவை முழுமையான பெருக்கல் சார்புகளாக இருக்காது. டிரிழ்ச்லெட்டின் பிறப்பிக்கும் சார்பு:

\frac{ζ (s) ζ (s - k)}{ζ (2 s - k)} = \sum_{n \geq 1} \frac{σ_{k}^{*} (n)}{n^{s}} .

n ஒரு வர்க்கக்காரணியற்ற முழுஎண்ணாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே", n இன் ஒவ்வொரு வகுஎண்ணும் அலகுநிலை வகுஎண்ணாக இருக்கும்.

ஒற்றை அலகுநிலை வகுஎண்கள்

ஒற்றை அலகுநிலை வகுஎண்களின் k-ஆவது அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகை:

σ_{k}^{(o) *} (n) = \sum_{\binom{\binom{d ∣ n}{d \equiv 1 (\mod 2)}}{\gcd (d, n / d) = 1}} d^{k} .

இதுவும் ஒரு பெருக்கல் சார்பாக இருக்கும்; மேலும் இதன் டிரிழ்ச்லெட்டின் பிறப்பிக்கும் சார்பு:

\frac{ζ (s) ζ (s - k) (1 - 2^{k - s})}{ζ (2 s - k) (1 - 2^{k - 2 s})} = \sum_{n \geq 1} \frac{σ_{k}^{(o) *} (n)}{n^{s}} .