இணையிய இடமாற்று அணி

கணிதத்தில் சிக்கலெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு அணியின் இணையிய இடமாற்று அணி அல்லது இணை இடமாற்று அணி (conjugate transpose) என்பது அந்த அணியை முதலில் இடமாற்றிக்கொண்டு, அதன் பின்னர் அந்த இடமாற்று அணியின் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் அதன் இணைச் சிக்கலெண்ணால் பதிலிடக் கிடைக்கும் அணியாகும். வார்ப்புரு:Math அணியின் இணையிய இடமாற்றின் குறியீடு வார்ப்புரு:Math^* ஆகும். இவ்வணியானது ஹெர்மைட் இடமாற்று அணி (Hermitian transpose) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

வார்ப்புரு:Math என்பது சிக்கலெண் உறுப்புகளுடைய ஒரு m x n அணி எனில் அதன் இணையிய இடமாற்று அணி வார்ப்புரு:Math^* ஆனது, வார்ப்புரு:Math இன் இடமாற்று அணியான வார்ப்புரு:Math^T இன் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் அதற்குரிய இணைச் சிக்கலெண்ணைக் கொண்டு பதிலிட்டுப் பெறப்படுகிறது. வார்ப்புரு:Math^* இன் வரிசை n x m ஆக இருக்கும்.^[1]^[2]^[3]

(𝑨^{*})_{i j} = \overline{𝑨_{j i}}

இதில் கீழொட்டுகள் i,j-ஆவது உறுப்பையும் (1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ m) தொகுப்புக் கோடு இணைச் சிக்கலெண்ணையும் குறிக்கும். ( a , b மெய்யெண்கள் எனில், சிக்கலெண் $a + b i$ இன் இணைச் சிக்கலெண் $a - b i$ )

இதனைப் பின்வருமாறும் குறிக்கலாம்:

𝑨^{*} = (\overline{𝑨})^{T} = \overline{𝑨^{T}}

வார்ப்புரு:Math இன் இடமாற்று அணி

𝑨^{T}

வார்ப்புரு:Math இன் இணையிய அணி

\overline{𝑨}

இணையிய இடமாற்று அணியின் பிற குறியீடுகள்:

சில இடங்களில் $𝑨^{*}$ என்பது இணைச் சிக்கலெண்களால் பதிலிடப்பட்ட அணியைக் குறிப்பதற்கும், இணையிய இடமாற்று அணியைக் குறிப்பதற்கு $𝑨^{* T}$ அல்லது $𝑨^{T *}$ குறியீடுகளும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு

𝑨 = [\begin{matrix} 1 & - 2 - i \\ 1 + i & i \end{matrix}]

இதன் இணையிய இடமாற்று அணி:

𝑨^{*} = [\begin{matrix} 1 & 1 - i \\ - 2 + i & - i \end{matrix}]

சில குறிப்புகள்

a_{i j}

உறுப்புகளைக் கொண்ட சதுர அணி வார்ப்புரு:Math.

வார்ப்புரு:Math (அதாவது $a_{i j} = \overline{a_{j i}}$ ) எனில், வார்ப்புரு:Math ஒரு ஹெர்மைட் அணி அல்லது தன்சேர்ப்பு அணி ஆகும்.
வார்ப்புரு:Math (அதாவது $a_{i j} = - \overline{a_{j i}}$ ) ஆக இருந்தால் வார்ப்புரு:Math ஒரு எதிர்-ஹெர்மைட் அணி ஆகும்.
வார்ப்புரு:Math எனில், வார்ப்புரு:Math ஒரு இயல்நிலை அணியாகும்.
வார்ப்புரு:Math எனில், வார்ப்புரு:Math ஒரு அலகுநிலை அணியாகும்.

வார்ப்புரு:Math சதுர அணி இல்லையென்றாலும் வார்ப்புரு:Math , வார்ப்புரு:Math இரண்டும் ஹெர்மைட் அணிகளாக இருக்கும்.

ஒரு மெய்யெண்ணின் இணை எண் அதே மெய்யெண்ணாக இருக்கும் என்பதால், மெய்யெண்களாலான அணி வார்ப்புரு:Math இன் இடமாற்று அணியும் இணையிய இடமாற்று அணியும் ஒன்றாகும்.