இலாப்லாசிய அணி

கோட்டுருவியலில் இலாப்லாசிய அணி (Laplacian matrix) என்பது ஒரு கோட்டுருவின் அணி வடிவ உருவகிப்பாகும். இந்த அணியானது, கணிதவியளாளர் இலாப்லாசின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. இலாப்லாசிய அணி, அதன் கோட்டுருவின் பல பண்புகளைத் தொடர்புபடுத்துகிறது.

வரையறை

எளிய கோட்டுருக்கள்

திசையிலாக் கோட்டுருக்கள்

எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட கோட்டுரு $G$; அதன் $n$ முனைகள் $v_1,\dots ,v_n$ எனில், அதன் $L_{n\times n}$ இலாப்லாசிய அணி உறுப்புகள்வாரியாக பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

$L_{i,j}:=\{\begin{array}{cc}\mathrm{deg}(v_i)& \text{if}i=j\\ -1& \text{if}i\ne j\text{and}{v}_i\text{ is adjacent to }{v}_j\\ 0& \text{otherwise},\end{array}$

$L=D-A,$

இதில் D = அடுக்கெண் அணி; A = அண்டை அணி. $G$ எளிய கோட்டுருவாகையால் அண்டை அணியின் மூலைவிட்ட உறுப்புகள் அனைத்தும் '0' ஆகவும், பிற உறுப்புகள் '1' அல்லது '0' ஆகவும் இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு:

பெயரிடப்பட்ட கோட்டுரு	அடுக்கெண் அணி	அண்டை அணி	இலாப்லாசிய அணி
	$\left(\begin{array}{cccccc}2& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 3& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 3& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 3& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& 0& 1& 0\\ 1& 0& 1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 1& 1\\ 1& 1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{cccccc}2& -1& 0& 0& -1& 0\\ -1& 3& -1& 0& -1& 0\\ 0& -1& 2& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 3& -1& -1\\ -1& -1& 0& -1& 3& 0\\ 0& 0& 0& -1& 0& 1\end{array}\right)$

திசையிலாக் கோட்டுருவின் அண்டை அணியும் இலாப்லாசிய அணியும் சமச்சீரானவையாகவும், இலாப்லாசிய அணியின் ஒவ்வொரு நிரை/நிரலுள்ள உறுப்புகளின் கூடுதல் பூச்சியமாகவும் இருக்கும்.

திசையுள்ள கோட்டுருக்கள்

திசை கோட்டுருக்களுக்கு பயன்பாட்டைப் பொறுத்து உள்ளடுக்கெண் அல்லது வெளியடுக்கெண்கள் பயன்படுத்தப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு:

பெயரிடப்பட்ட அணி	அண்டை அணி	வெளியடுக்கெண் அணி	வெளியடுக்கெண் இலாப்லாசிய அணி	உள்ளடுக்கெண் அணி	உள்ளடுக்கெண் இலாப்லாசிய அணி
	$\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ 0& 1& -1\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 0& 1& -1\\ -1& 0& 2\end{array}\right)$

திசையிட்ட கோட்டுருவின் அண்டை அணியும் இலாப்லாசிய அணியும் சமச்சீரற்றவையாக இருக்கும். கோட்டுருவின் உள்ளடுக்கெண்/வெளியடுக்கண் பயன்படுத்தப்பட்டதைப் பொறுத்து, அதன் இலாப்லாசிய அணியின் நிரல்/நிரைகளின் உறுப்புகளின் கூடுதல் பூச்சியமாக இருக்கும்.

படுகை அணி வாயிலாக சமச்சீர் இலாப்லாசிய அணி

கோட்டுருவின் $|v|\times |e|$ படுகை அணி B இன் உறுப்பு B_ve எனில், இதில் வரும் v ஆனது கோட்டுருவின் முனையையும் e ஆனது $v_i$ மற்றும் $v_j$ (i < j) முனைகளை இணைக்கும் விளிம்பையும் குறிக்கின்றன. மேலும் B_ve இன் வரையறை:

$B_{ve}=\{\begin{array}{cc}1,& \text{if }v=v_i\\ -1,& \text{if }v=v_j\\ 0,& \text{otherwise}.\end{array}$

இந்த வரையறையில் விளிம்புகள் திசையுள்ளவைகளாக இருந்தாலும் அத்திசைகள் குறிப்பில்லாதவையாக இருக்கலாம். இப்போதும் சமச்சீர் இலாப்லாசிய அணியில் மாற்றமிருக்காது.

$|v|\times |v|$ இலாப்லாசிய அணி L இன் வரையறை:

$L=B{B}^{\mathsf{\text{T}}}$ (B இன் இடமாற்று அணி $B^{\mathsf{\text{T}}}$)

எடுத்துக்காட்டு

கோட்டுரு	படுகை அணி	இலாப்லாசிய அணி
	$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 1\\ 0& 0& -1& -1\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{cccc}3& -1& -1& -1\\ -1& 1& 0& 0\\ -1& 0& 2& -1\\ -1& 0& -1& 2\end{array}\right)$

• $B^{\mathsf{\text{T}}}B$ என்பது, "விளிம்பு-அடிப்படையிலான $|e|\times |e|$ இலாப்லாசிய அணி"யைத் தரும். மேலே தரப்பட்ட இலாப்லாசிய அணி "முனை-அடிப்படையிலான இலாப்லாசிய அணி"யாகும்.

திசையுள்ள கோட்டுருவின் சமச்சீர் இலாப்லாசிய அணி

திசையுள்ள கோட்டுருவின் இலாப்லாசிய அணியானது பொதுவாக சமச்சீரானதல்ல. எனினும் திசையுள்ள கோட்டுருவை திசையற்றதாக மாற்றி அதற்கான இலாப்லாசிய அணி காணப்படுகிறது.

எடுத்துக்கொள்ளப்படும் திசையுள்ள மூலக் கோட்டுருவிற்கான திசையிலாக் கோட்டுருவின் அண்டை அணியானது, திசையுள்ள மூலக் கோட்டுருவின் அண்டை அணி ($A$) மற்றும் அதன் இடமாற்று அணி ($A^T$) ஆகிய இரண்டின் பூலியக் கூட்டுத்தொகையாக வரையறுக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு

அண்டை அணி ($A$)	இடமாற்று அணி ($A^T$)	சமச்சீராக்கப்பட்ட அண்டை அணி ($A$, $A^T$ இரண்டின் பூலிய கூட்டுத்தொகை)	சமச்சீர் இலாப்லாசிய அணி
$\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ -1& 2& -1\\ -1& -1& 2\end{array}\right)$

இலாப்லாசிய அணியை இயல்பாக்கல்

கோட்டுருவில் பெரிய அடுக்கெண்ணுள்ள முனை இருந்தால், இலாப்லாசிய அணியின் மூலைவிட்டத்தின் உறுப்பு பெரிதாக இருக்கும். இதனால் அணியின் பண்புகள் பாதிக்கப்படும். இத்தகைய முனைகளைப் பிற முனைகளுக்குச் சமமானதாக ஆக்குவதற்கு இயல்பாக்கல் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இயல்பாக்கலில், இலாப்லாசிய அணியின் உறுப்புகள் அவற்றுக்குரிய முனைகளின் அடுக்கெண்களால் வகுக்கப்படுகிறது. இயல்பாக்கலின்போது பூச்சியத்தால் வகுக்க வேண்டிய நிலையைத் தவிர்ப்பதற்காக, பூச்சிய அடுக்கெண்ணுடன் தனித்து இருக்கும் முனைகள் விட்டுவிடப்படுகின்றன.

சமச்சீராக இயல்பாக்கப்பட்ட இலாப்லாசிய அணி

சமச்சீராக இயல்பாக்கப்பட்ட இலாப்லாசிய அணியின் ($L^{\text{sym}}$) வரையறை:

$L^{\text{sym}}:=(D^{+}{)}^{1/2}L(D^{+}{)}^{1/2}=I-(D^{+}{)}^{1/2}A(D^{+}{)}^{1/2},$

($D^{+}$ = மூர்-பென்ரோசு நேர்மாறு)

$L^{\text{sym}}$ இன் உறுப்புகள் பின்னுள்ளவாறு தரப்படுகின்றன:

$L_{i,j}^{\text{sym}}:=\{\begin{array}{cc}1& \text{if }i=j\text{ and }\mathrm{deg}(v_i)\ne 0\\ -\frac{1}{\sqrt{\mathrm{deg}(v_i)\mathrm{deg}(v_j)}}& \text{if }i\ne j\text{ and }{v}_i\text{ is adjacent to }{v}_j\\ 0& \text{otherwise}.\end{array}$

கோட்டுருவின் அண்டை அணி சமச்சீரானதாக 'இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே', சமச்சீராக இயல்பாக்கப்பட்ட இலாப்லாசிய அணியும் சமச்சீரானதாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு

அண்டை அணி	அடுக்கெண் அணி	இயல்பாக்கப்பட்ட இலாப்லாசிய அணி
$\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{ccc}1& -\sqrt{1/2}& 0\\ -\sqrt{1/2}& 1& -\sqrt{1/2}\\ 0& -\sqrt{1/2}& 1\end{array}\right)$

திசை கோட்டுருவின் அண்டை அணி சமச்சீரற்றதாக இருந்தால், இயல்பாக்கலுக்கு வெளி-அடுக்கெண், உள்-அடுக்கெண் ஆகிய இரண்டில் ஏதாவதொன்று பயன்படுத்தப்படுகிறது:

எடுத்துக்காட்டு

அண்டை அணி	வெளி-அடுக்கெண் அணி	வெளி-அடுக்கெண் இயல்பாக்கப்பட்ட இலாப்லாசிய அணி	உள்-அடுக்கெண் அணி	உள்-அடுக்கெண் இயல்பாக்கப்பட்ட இலாப்லாசிய அணி
$\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{ccc}1& -\sqrt{1/2}& -\sqrt{1/2}\\ 0& 1& -1\\ -\sqrt{1/2}& 0& 1\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -\sqrt{1/2}\\ 0& 1& -\sqrt{1/2}\\ -\sqrt{1/2}& 0& 1\end{array}\right)$