எல்லைகளின் பட்டியல் (கணிதம்)

இக்கட்டுரையில் பொதுச் சார்புகளின் எல்லைகளின் பட்டியல் தரப்படுகிறது. இதிலுள்ள a, b ,c ஆகிய மூன்றும் மாறி x ஐப் பொறுத்த மாறிலிகளாகும். இப்பட்டியல் முழுமையானதல்ல.

பொதுச்சார்புகளின் எல்லைகள்

எல்லையின் வரையறையும் தொடர்புடைய கருத்துக்களும்

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >00<|x-c|<\delta \to |f(x)-L|<\epsilon$. என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$. இவ்வரையறை எல்லையின் (ε, δ)-வரையறை.

ஒரு தொடர்வரிசையின் உயர் எல்லையின் வரையறை:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\underset{m\ge n}{\sup }{x}_m\right)$

ஒரு தொடர்வரிசையின் தாழ் எல்லையின் வரையறை:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\underset{m\ge n}{\inf }{x}_m\right)$.

சார்பின் தொடர்ச்சி:

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=f(c)$

.

என்பது உண்மையெனில் சார்பு $f(x)$ ஆனது c புள்ளியில் தொடர்ச்சியானதாக இருக்கும்.

அறியப்பட்ட எல்லை மீதான செயல்கள்

$\text{If }\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L\text{ then:}$

$\underset{x\to c}{\lim }[f(x)\pm a]=L\pm a$

$\underset{x\to c}{\lim }af(x)=aL$

$L=0$ எனில், $\underset{x\to c}{\lim }\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{L}$

$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^n=L^n\text{ if }n\text{ is a positive integer}$

$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{\frac{1}{n}}=L^{\frac{1}{n}}\text{ if }n\text{ is a positive integer, and if }n\text{ is even, then }L>0$

பொதுவாக, L இல் g(x) தொடர்ச்சியானதாகவும் $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$ எனவும் இருந்தால்:

$\underset{x\to c}{\lim }g(f(x))=g(L)$

அறியப்பட்ட இரு எல்லைகள் மீதான செயல்கள்

$\text{If }\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L_1\text{ and }\underset{x\to c}{\lim }g(x)=L_2\text{ then:}$

$\underset{x\to c}{\lim }[f(x)\pm g(x)]=L_1\pm L_2$

$\underset{x\to c}{\lim }[f(x)g(x)]=L_1\cdot L_2$

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L_1}{L_2}\text{ if }{L}_2\ne 0$

வகைக்கெழுக்கள் அல்லது நுண்ணளவு மாற்றங்கள் கொண்ட எல்லைகள்

இங்கு நுண்ணளவு மாற்றமானது $\mathrm{\Delta }x$ அல்லது $\delta x$ எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

$x$ இல், $f(x)$ வகையிடத்தக்கச் சார்பு எனில்:

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f^{\prime }(x)$.

இது வகையிடலின் வரையறையாகும்.

வகையிடல் விதிகளையும் எல்லைகளைக் கொண்டவைகளாக மாற்றியமைக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக x இல், g(x) வகையிடத்தக்கது எனில்,

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\circ g(x+h)-f\circ g(x)}{h}=f^{\prime }[g(x)]g^{\prime }(x)$

. (வகையிடலின் சங்கிலி விதி).

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$

. (வகையிடலின் பெருக்கல் விதி).

$\underset{h\to 0}{\lim }{\left(\frac{f(x+h)}{f(x)}\right)}^{\frac{1}{h}}=\exp \left(\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\right)$

$\underset{h\to 0}{\lim }{\left(\frac{f(x(1+h))}{f(x)}\right)}^{\frac{1}{h}}=\exp \left(\frac{x{f}^{\prime }(x)}{f(x)}\right)$

$f(x),$ $g(x)$ இரண்டும் c ஐ உள்ளடக்கிய திறந்த இடைவெளியில் (c ஐ மட்டும் தவிர்க்கலாம்) வகையிடத்தக்கவையாகவும், $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0\text{ or }\pm \mathrm{\infty }$ எனவும் இருக்குமானால், லாபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம்:

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

சமனிலிகள்

c ஐ உள்ளடக்கிய இடைவெளியிலுள்ள அனைத்து x மதிப்புகளுக்கும் (ஒருவேளை c தவிர்க்கப்படலாம்) $f(x)\le g(x)$ ஆகவும், $f(x),$ $g(x)$ இரண்டின் எல்லைகளும் c இடத்துக் காணத்தக்கதாகவும் இருந்தால்:

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)\le \underset{x\to c}{\lim }g(x)$

c ஐ உள்ளடக்கிய இடைவெளியிலுள்ள அனைத்து x மதிப்புகளுக்கும் (ஒருவேளை c தவிர்க்கப்படலாம்) $\text{If }\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\underset{x\to c}{\lim }h(x)=L$ ஆகவும், $f(x)\le g(x)\le h(x)$ ஆகவும் இருந்தால்:

$\underset{x\to c}{\lim }g(x)=L$

.

f(x) , g(x) இரண்டின் மதிப்புகளும் c இடத்து வெவ்வேறாக இருந்தாலும் அல்லது c இடத்து இவ்விரு சார்புகளும் தொடர்ச்சியற்றதாக இருந்தாலும் இம்முடிவு உண்மையாக இருக்கும்.

பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் x^a வடிவச் சார்புகளும்

$\underset{x\to c}{\lim }a=a$

x இல் அமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள்

$\underset{x\to c}{\lim }x=c$

$\underset{x\to c}{\lim }(ax+b)=ac+b$

$\underset{x\to c}{\lim }{x}^n=c^n\text{ if }n\text{ is a positive integer}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x/a=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& a>0\\ \text{does not exist},& a=0\\ -\mathrm{\infty },& a<0\end{array}$

பொதுவாக $p(x)$ ஒரு பல்லுறுக்கோவையெனில் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தொடர்ச்சித்தன்மையின்படி:

$\underset{x\to c}{\lim }p(x)=p(c)$

விகிதமுறு சார்புகள் அவற்றின் ஆட்களங்களில் தொடர்ச்சியானவை என்பதால் அவற்றுக்கும் இம்முடிவு பொருந்தும்.

x^a வடிவச் சார்புகள்

$\underset{x\to c}{\lim }{x}^a=c^a.$ குறிப்பாக:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^a=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& a>0\\ 1,& a=0\\ 0,& a<0\end{array}$

$\underset{x\to c}{\lim }{x}^{1/a}=c^{1/a}$. குறிப்பாக:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^{1/a}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[a]{x}=\mathrm{\infty }\text{ for any }a>0$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^{-n}=\lim \frac{1}{x^n}=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }{x}^{-n}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x^n}=\{\begin{array}{cc}-\mathrm{\infty },& \text{if }n\text{ is odd}\\ +\mathrm{\infty },& \text{if }n\text{ is even}\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }a{x}^{-1}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }a/x=0\text{ for any real }a$

அடுக்கேற்றச் சார்புகள்

a^g(x) வடிவச் சார்புகள்

$\underset{x\to c}{\lim }{e}^x=e^c$ ($e^x$ தொடர்ச்சியான சார்பு என்பதால்)

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& a>1\\ 1,& a=1\\ 0,& 0<a<1\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^{-x}=\{\begin{array}{cc}0,& a>1\\ 1,& a=1\\ \mathrm{\infty },& 0<a<1\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[x]{a}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^{1/x}=\{\begin{array}{cc}1,& a>0\\ 0,& a=0\\ \text{does not exist},& a<0\end{array}$

x^g(x) வடிவச் சார்புகள்

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[x]{x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^{1/x}=1$

f(x)^g(x) வடிவச் சார்புகள்

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{x}{x+k}\right)}^x=e^{-k}$

$\underset{x\to 0}{\lim }{(1+x)}^{\frac{1}{x}}=e$

$\underset{x\to 0}{\lim }{(1+kx)}^{\frac{m}{x}}=e^{mk}$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x=e$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1-\frac{1}{x})}^x=\frac{1}{e}$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{k}{x})}^{mx}=e^{mk}$

$\underset{x\to 0}{\lim }{(1+a\left(e^{-x}-1\right))}^{-\frac{1}{x}}=e^a$.

கூட்டுத்தொகை, பெருக்கற்பலன், கூட்டமைவுகள்

$\underset{x\to 0}{\lim }x{e}^{-x}=0$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x{e}^{-x}=0$

$\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{a^x-1}{x}\right)=\ln a,\mathrm{\forall }a>0$

$\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{e^x-1}{x}\right)=1$

$\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{e^{ax}-1}{x}\right)=a$

மடக்கைச் சார்புகள்

இயல் மடக்கைகள்

$\ln x$ இன் தொடர்ச்சித்தன்மையால்:

$\underset{x\to c}{\lim }\ln x=\ln c$ குறிப்பாக,

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\log x=-\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\log x=\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln (x)}{x-1}=1$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (x+1)}{x}=1$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\ln (1+a\left(e^{-x}-1\right))}{x}=a$. (லாபிதாலின் விதியின்படி பெறப்படுகிறது)

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x=0$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\ln x}{x}=0$

குறிப்பிலா அடிமான மடக்கைகள்

a > 1 எனில்:

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{a}x=\mathrm{\infty }$

a < 1 எனில்:

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{a}x=\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }$

முக்கோணவியல் சார்புகள்

$x$ ஆனது ரேடியன்களில் குறிக்கப்படுகிறது. சைன் மற்றும் கொசைன் சார்புகளின் தொடர்ச்சித்தன்மையால்:

$\underset{x\to a}{\lim }\sin x=\sin a$

$\underset{x\to a}{\lim }\cos x=\cos a$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$. அல்லது பொதுவாக,

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin ax}{ax}=1$, (a ≠ 0)

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin ax}{x}=a$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin ax}{bx}=\frac{a}{b}$, (b ≠ 0)

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x\sin \left(\frac{1}{x}\right)=1$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x}=0$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$

$\underset{x\to n^{\pm }}{\lim }\tan (\pi x+\frac{\pi }{2})=\mp \mathrm{\infty }$ (n ஒரு முழு எண்)

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{n}{\underbrace{\sin \sin \dots \sin (x_0)}}=0$ (x₀ ஒரு குறிப்பிலா மெய் எண்)

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{n}{\underbrace{\cos \cos \dots \cos (x_0)}}=d$, ( d டோத்தி எண், x₀ ஒரு குறிப்பிலா மெய் எண்)

கூட்டுத்தொகைகள்

பொதுவாக எந்தவொரு முடிவுறாத் தொடரும் அதன் பகுதிக் கூட்டல்களின் எல்லையாக இருக்கும்.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}=\mathrm{\infty }$. இது இசைத் தொடர் என அறியப்படுகிறது.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\log n)=\gamma$. இது ஆய்லர் மசுசேரோனி மாறிலி (Euler Mascheroni constant) என அறியப்படுகிறது.

குறிப்பிடத்தக்கச் சிறப்பு எல்லைகள்

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(n!)}^{1/n}=\mathrm{\infty }$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{2}^n\underset{n}{\underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\text{...}+\sqrt{2}}}}}}=\pi$.